Giải bài 7 trang 79 SGK Toán 10 tập 1 – Chân trời sáng tạo

Đề bài

Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng:

$\cot A + \cot B + \cot C = \frac{{R({a^2} + {b^2} + {c^2})}}{{abc}}$

Lời giải chi tiết

Áp dụng hệ quả của định lí sin và định lí cosin, ta có:

$\frac{a}{{\sin A}} = 2R \Rightarrow \sin A = \frac{a}{{2R}}$

và $\cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}$

$\Rightarrow \cot A = \frac{{\cos A}}{{\sin A}} = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}:\frac{a}{{2R}} = R.\frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{abc}}$

Tương tự ta có: $\cot B = R.\frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{abc}}$ và $\cot C = R.\frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{abc}}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \cot A + \cot B + \cot C = \frac{R}{{abc}}\left[ {\left( {{b^2} + {c^2} - {a^2}} \right) + \left( {{a^2} + {c^2} - {b^2}} \right) + \left( {{a^2} + {b^2} - {c^2}} \right)} \right]\\ = \frac{R}{{abc}}\left( {2{b^2} + 2{c^2} + 2{a^2} - {a^2} - {c^2} - {b^2}} \right) = \frac{{R({a^2} + {b^2} + {c^2})}}{{abc}}\end{array}$