Giải bài 7 trang 65 vở thực hành Toán 9

Đề bài

Sử dụng định nghĩa căn bậc ba, chứng minh rằng $\sqrt[3]{{7 + 5\sqrt 2 }} = \sqrt 2  + 1$.

Lời giải chi tiết

Theo định nghĩa, $\sqrt[3]{{7 + 5\sqrt 2 }}$ là một số thực x thỏa mãn ${x^3} = 7 + 5\sqrt 2$.

Vì vậy, để chứng minh $\sqrt[3]{{7 + 5\sqrt 2 }} = \sqrt 2  + 1$ chỉ cần chứng tỏ ${\left( {\sqrt 2  + 1} \right)^3} = 7 + 5\sqrt 2$

Thật vậy áp dụng hằng đẳng thức ${\left( {a + b} \right)^3} = {a^3} + 3{a^2}b + 3a{b^2} + {b^3}$ ta có:

${\left( {\sqrt 2  + 1} \right)^3} = {\left( {\sqrt 2 } \right)^3} + 3{\left( {\sqrt 2 } \right)^2} + 3\sqrt 2  + 1 \\= 2\sqrt 2  + 6 + 3\sqrt 2  + 1 = 7 + 5\sqrt 2$

Vậy $\sqrt[3]{{7 + 5\sqrt 2 }} = \sqrt 2  + 1$.