Giải bài 6.22 trang 18 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Giải các bất phương trình sau:

a) $3{x^2} - 36x + 108 > 0$   

b) $- {x^2} + 2x - 2 \ge 0$

c) ${x^4} - 3{x^2} + 2 \le 0$   

d) $\frac{1}{{{x^2} - x + 1}} \le \frac{1}{{2{x^2} + x + 2}}$

Lời giải chi tiết

a) Tam thức bậc hai $f(x) = 3{x^2} - 36x + 108$ có a = 3 > 0, ∆’ = 0 nên f(x) có nghiệm kép x = 6 và f(x) = $3{x^2} - 36x + 108$ > 0 với mọi $x \ne 6$

Vậy tập nghiệm của BPT $3{x^2} - 36x + 108 > 0$ là $\mathbb{R}\backslash {\rm{\{ }}6\}$

b) Tam thức bậc hai $g(x) =  - {x^2} + 2x - 2 \ge 0$ có a = -1 < 0, ∆’ = -1 < 0 nên g(x) < 0 với mọi $x \in \mathbb{R}$

Vậy BPT $- {x^2} + 2x - 2 \ge 0$ vô nghiệm

c) Đặt t = x² (t ≥ 0) khi đó ta thu được BPT ${t^2} - 3t + 2 \le 0$

Tam thức bậc hai $h(x) = {t^2} - 3t + 2$ có a = 1 > 0 và có hai nghiệm là ${x_1} = 1,{x_2} = 2$ nên ta có bảng xét dấu:

Từ bảng xét dấu, ta được nghiệm của BPT ${t^2} - 3t + 2 \le 0$là 1 ≤ t ≤ 2

Suy ra 1 ≤ x² ≤ 2 $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} \ge 1\\{x^2} \le 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x \ge 1\\x \le  - 1\end{array} \right.\\ - \sqrt 2  \le x \le \sqrt 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - \sqrt 2  \le x \le  - 1\\1 \le x \le \sqrt 2 \end{array} \right.$

Vậy tập nghiệm của BPT ${x^4} - 3{x^2} + 2 \le 0$ là $\left[ { - \sqrt 2 ; - 1} \right] \cup \left[ {1;\sqrt 2 } \right]$

d) $\frac{1}{{{x^2} - x + 1}} \le \frac{1}{{2{x^2} + x + 2}}$(*)

Ta có: Tam thức bậc hai ${x^2} - x + 1$ và $2{x^2} + x + 2$ đều có a > 0, ∆ > 0 nên ${x^2} - x + 1$ > 0; $2{x^2} + x + 2$ > 0 với mọi $x \in \mathbb{R}$

Khi đó (*) $\Leftrightarrow {x^2} - x + 1 \ge 2{x^2} + x + 2$ $\Leftrightarrow {x^2} + 2x + 1 \le 0$

Tam thức bậc hai $k(x) = {x^2} + 2x + 1$ có a = 1 > 0, ∆’ = 0 và có nghiệm kép x = -1

Suy ra k(x) > 0 với mọi x ≠ -1 và k(x) = 0 với x = -1

Vậy tập nghiệm của BPT $\frac{1}{{{x^2} - x + 1}} \le \frac{1}{{2{x^2} + x + 2}}$ là {-1}