Giải bài 6 trang 41 Chuyên đề học tập Toán 11 Chân trời sáng tạo

Đề bài

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm M(1; 1). Hỏi các điểm sau điểm nào là ảnh của M qua phép quay tâm O với góc quay 45°?

A. $M'\left( {1;{\rm{ }}1} \right).$

B. $M'\left( {1;{\rm{ }}0} \right).$

C. $M'\left( {\sqrt 2 ;0} \right)$

D. $M'\left( {0;\sqrt 2 } \right)$

Lời giải chi tiết

Đáp án đúng là: D

 

Ta có $\overrightarrow {OM}  = \left( {1;1} \right)$. Suy ra $OM = \sqrt 2$

Vẽ đường tròn (C) tâm O, bán kính OM.

Ta có ${Q_{(O,{\rm{ }}45^\circ )}}$ biến điểm M khác O thành điểm M’ sao cho $OM' = OM = \sqrt 2$ và $\left( {OM',{\rm{ }}OM} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}45^\circ \;$ hay $\widehat {MOM'} = 45^\circ$

Kẻ $MH \bot Ox$  tại H.

$\Delta$ OMH vuông tại H: $\cos \widehat {MOH} = \frac{{OH}}{{OM}} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}$

Suy ra $\widehat {MOH} = 45^\circ$

Ta có $\widehat {HOM'} = \widehat {HOM} + \widehat {MOM'} = 45^\circ  + 45^\circ  = 90^\circ$

Suy ra $M' \in Oy$ nên ${x_{M'}}\; = {\rm{ }}0.$

Mà $OM' = \sqrt 2$ (chứng minh trên) nên ${y_{M'}} = \sqrt 2$

Vậy tọa độ $M'\left( {0;\sqrt 2 } \right)$

Do đó ta chọn phương án D.