Giải bài 7 trang 41 Chuyên đề học tập Toán 11 Chân trời sáng tạo

Đề bài

Cho tam giác đều tâm O. Hỏi có bao nhiêu phép quay tâm O với góc quay \(\alpha \), \(0{\rm{ }} < {\rm{ }}\alpha {\rm{ }} \le {\rm{ }}2\pi ,\)biến tam giác trên thành chính nó?

A. Một.

B. Hai.

C. Ba.

D. Bốn.

Lời giải chi tiết

Đáp án đúng là: C

Gọi tam giác đã cho là ∆ABC.

 

⦁ \(\Delta \)ABC đều có tâm O. Suy ra \(OA{\rm{ }} = {\rm{ }}OB{\rm{ }} = {\rm{ }}OC\) và \(\widehat {ACB} = \frac{\pi }{3}\)

Khi đó \(\widehat {AOB} = 2\widehat {ACB} = 2.\frac{\pi }{3} = \frac{{2\pi }}{3}\)

Chứng minh tương tự, ta được \(\widehat {BOC} = \widehat {COA} = \frac{{2\pi }}{3}\)

Vì vậy phép quay tâm O, góc quay \(\alpha  = \frac{{2\pi }}{3}\) biến các điểm A, B, C theo thứ tự thành các điểm B, C, A.

Do đó phép quay tâm O, góc quay \(\alpha  = \frac{{2\pi }}{3}\) biến \(\Delta \)ABC thành chính nó.

⦁ Tương tự ta có phép quay tâm O, góc quay \(\alpha  = \frac{{4\pi }}{3}\)  biến các điểm A, B, C theo thứ tự thành các điểm C, A, B.

Do đó phép quay tâm O, góc quay  \(\alpha  = \frac{{4\pi }}{3}\) biến \(\Delta \)ABC thành chính nó.

⦁ Phép quay tâm  O, góc quay \(\alpha  = \frac{{4\pi }}{3}\) biến các điểm A, B, C theo thứ tự thành các điểm A, B, C.

Do đó phép quay tâm O, góc quay \(\alpha {\rm{ }} = {\rm{ }}2\pi \;\) biến ∆ABC thành chính nó.

Vậy có 3 phép quay tâm O với các góc quay lần lượt là \(\alpha  = \frac{{2\pi }}{3}\); \(\alpha  = \frac{{4\pi }}{3}\); \(\alpha {\rm{ }} = {\rm{ }}2\pi \;\)thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Do đó ta chọn phương án C.