Giải bài 56 trang 57 sách bài tập toán 11 - Cánh diều

Đề bài

Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ biết ${u_1} = 1$, ${u_2} = 2$, ${u_{n + 1}} = 2{u_n} - {u_{n - 1}} + 2$ với $n \ge 2$.

a)    Viết năm số hạng đầu của dãy số.

b)    Đặt ${v_n} = {u_{n + 1}} - {u_n}$ với $n \in {\mathbb{N}^*}$. Chứng minh rằng dãy số $\left( {{v_n}} \right)$ là cấp số cộng.

c)     Tìm công thức của ${v_n}$, ${u_n}$ tính theo $n$.

Lời giải chi tiết

a) Ta có

${u_3} = 2{u_2} - {u_1} + 2 = 2.2 - 1 + 2 = 5$

${u_4} = 2{u_3} - {u_2} + 2 = 2.5 - 2 + 2 = 10$

${u_5} = 2{u_4} - {u_3} + 2 = 2.10 - 5 + 2 = 17$

Vậy năm số hạng đầu của dãy số là 1, 2, 5, 10, 17.

b) Do ${u_{n + 1}} = 2{u_n} - {u_{n - 1}} + 2 \Rightarrow {u_{n + 1}} - {u_n} = {u_n} - {u_{n - 1}} + 2$

Mà ${v_n} = {u_n} - {u_{n - 1}}$, ta suy ra ${v_n} = {v_{n - 1}} + 2 \Rightarrow {v_n} - {v_{n - 1}} = 2$

Dãy số $\left( {{v_n}} \right)$ có ${v_n} - {v_{n - 1}} = 2$ là một hằng số, nên $\left( {{v_n}} \right)$ là cấp số cộng có số hạng đầu ${v_1} = {u_2} - {u_1} = 2 - 1 = 1$, công sai $d = 2$.

c) Do $\left( {{v_n}} \right)$ là cấp số cộng, nên ${v_n} = {v_1} + \left( {n - 1} \right)d = 1 + 2\left( {n - 1} \right) = 2n - 1$

Ta có ${v_1} = {u_2} - {u_1}$, ${v_2} = {u_3} - {u_2}$, ${v_3} = {u_4} - {u_3}$,…, ${v_{n - 1}} = {u_n} - {u_{n - 1}}$

Do đó ${v_1} + {v_2} + {v_3} + .... + {v_{n - 1}} =  - {u_1} + {u_n}$

Suy ra ${u_n} = \frac{{\left( {2v{\rm{\_1 + }}\left( {n - 2} \right)d} \right)\left( {n - 1} \right)}}{2} + 1 = {\left( {n - 1} \right)^2} + 1$.