Giải bài 5 trang 69 SGK Toán 8 – Cánh diều

Đề bài

Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 3, AC = 4, AD là đường phân giác. Tính: 

a) Độ dài các đoạn thẳng BC, DB, DC;

b) Khoảng cách từ điểm D đến đường thẳng AC;

c) Độ dài đường phân giác AD

Lời giải chi tiết

a)      Tam giác ABC vuông tại A nên ta có:

$BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}}  = \sqrt {{3^2} + {4^2}}  = 5$

Vì AD là đường phân giác của tam giác ABC nên ta có:

$\frac{{DB}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{AC}}$ (Tính chất đường phân giác trong tam giác)

Suy ra $\frac{{DB}}{{DC}} = \frac{3}{4}$, do đó $DB = \frac{3}{4}DC$

Mà $BD + CD = BC$

Suy ra $\frac{3}{4}CD + CD = 5$

$CD = \frac{{20}}{7}$

Do đó $BD = 5 - \frac{{20}}{7} = \frac{{15}}{7}$.

b)     Từ D kẻ đường thẳng vuông góc với AC cắt AC tại E. Khi đó DE là khoảng cách từ D đến đường thẳng AC.

Ta có: $\left. \begin{array}{l}DE \bot AC\\AB \bot AC\end{array} \right\}$ suy ra $DE// AB$

Do đó $\frac{{DE}}{{AB}} = \frac{{DC}}{{BC}}$

$\frac{{DE}}{3} = \frac{{\frac{{20}}{7}}}{5}$

$DE = \frac{{12}}{7}$ (Tính chất đường phân giác)

c)      Xét tam giác ABC có $DE// AB$ nên $\frac{{BD}}{{BC}} = \frac{{AE}}{{AC}}$ (Định lý Thales)

Suy ra $\frac{{\frac{{15}}{7}}}{5} = \frac{{AE}}{4}$ nên $AE = \frac{{12}}{7}$

Tam giác ADE vuông tại E nên ta có:

$AD = \sqrt {A{E^2} + D{E^2}}  = \sqrt {{{\left( {\frac{{12}}{7}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{12}}{7}} \right)}^2}}  = \frac{{12\sqrt 2 }}{7}$