Bài 5 trang 196 SBT toán 9 tập 2

Đề bài

$BD$ là đường phân giác của tam giác $ABC.$ Chứng minh rằng $BD^2=AB.BC - AD.DC.$

Lời giải chi tiết

Gọi $E$ là giao điểm của tia $BD$ và đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC$.

* Xét $\Delta BEA$ và $\Delta BCD$ có:

$\widehat {ABE} = \widehat {DBC}$ (vì $BD$ là tia phân giác $\widehat B$)

$\widehat {BEA} = \widehat {BCD}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung $AB$)

$\Rightarrow \Delta BEA\backsim \Delta BCD$ (g.g)

$\Rightarrow \dfrac{{AB}}{{BD}} = \dfrac{{BE}}{{BC}}$

Mà $BE=BD+DE$ nên $\dfrac{{AB}}{{BD}} = \dfrac{{BD + DE}}{{BC}}$

$\Rightarrow B{D^2} + BD.DE = AB.BC$

$\Rightarrow B{D^2} = AB.BC - BD.DE$    (1)

* Xét $\Delta BDC$ và $\Delta ADE$ có:

$\widehat {BDC} = \widehat {ADE}$ (hai góc đối đỉnh)

$\widehat {DBC} = \widehat {DAE}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung $CE$)

$\Rightarrow \Delta BDC\backsim \Delta ADE$ (g.g)

$\Rightarrow \dfrac{{BD}}{{DC}} = \dfrac{{AD}}{{DE}}$

$\Rightarrow BD.DE = AD.DC$          (2)

Từ (1) và (2) suy ra: $B{D^2} = AB.BC - AD.DC$ (điều phải chứng minh).

HocTot.Nam.Name.Vn