Giải bài 49 trang 110 sách bài tập toán 11 - Cánh diều

Đề bài

Cho hình chóp $S.ABCD$ có $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$, $AC$ cắt $BD$ tại $O$, $SO \bot \left( {ABCD} \right)$, $SA = 2a$. Tính khoảng cách:

a) Từ điểm $A$ đến mặt phẳng $\left( {SBD} \right)$.

b) Giữa hai đường thẳng $SO$ và $CD$.

c) Từ điểm $O$ đến mặt phẳng $\left( {SCD} \right)$.

d*) Giữa hai đường thẳng $AB$ và $SD$.

Lời giải chi tiết

a) Ta có $ABCD$ là hình vuông, nên $AO \bot BD$. Hơn nữa, do $SO \bot \left( {ABCD} \right)$ nên $SO \bot AO$. Như vậy, do $AO \bot BD$, $SO \bot AO$ nên $AO \bot \left( {SBD} \right)$. Điều này có nghĩa $O$ là hình chiếu của $A$ trên $\left( {SBD} \right)$. Vậy khoảng cách từ $A$ đến $\left( {SBD} \right)$ là đoạn thẳng $AO$.

Ta có $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$, nên $AC = a\sqrt 2  \Rightarrow AO = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}$.

Vậy khoảng cách từ $A$ đến $\left( {SBD} \right)$ là $\frac{{a\sqrt 2 }}{2}$.

b) Gọi $M$ là hình chiếu của $O$ trên $CD$. Do $O$ là tâm của hình vuông $ABCD$ cạnh $a$, nên ta suy ra $OM \bot CD$ và $OM = \frac{a}{2}$.

Do $SO \bot \left( {ABCD} \right)$, ta suy ra $SO \bot OM$.

Như vậy, do $OM \bot CD$, $SO \bot OM$, nên $OM$ là đường vuông góc chung của 2 đường thẳng $SO$ và $CD$, điều này có nghĩa khoảng cách giữa 2 đường thẳng $SO$ và $CD$ là đoạn thẳng $OM$.

Do $OM = \frac{a}{2}$, ta kết luận rằng khoảng cách giữa 2 đường thẳng $SO$ và $CD$ là $\frac{a}{2}$.

c) Gọi $H$ là hình chiếu của $O$ trên $SM$. Vì $SO \bot \left( {ABCD} \right)$ nên $SO \bot CD$, mà $OM \bot CD$ nên $\left( {SOM} \right) \bot CD$, điều này suy ra $OH \bot CD$. Mà lại có $OH \bot SM$ nên $OH \bot \left( {SCD} \right)$.

Vậy $H$ là hình chiếu của $O$ trên $\left( {SCD} \right)$, tức là khoảng cách từ $O$ đến $\left( {SCD} \right)$ là đoạn thẳng $OH$.

Tam giác $SAO$ vuông tại $O$ nên $S{O^2} = S{A^2} - A{O^2} = {\left( {2a} \right)^2} - {\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)^2} = \frac{{7{a^2}}}{2}$.

Tam giác $SOM$ vuông tại $O$ có đường cao $OH$, nên ta có:

$\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{S{O^2}}} + \frac{1}{{O{M^2}}} = \frac{2}{{7{a^2}}} + \frac{4}{{{a^2}}} = \frac{{30}}{{7{a^2}}} \Rightarrow OH = \sqrt {\frac{{7{a^2}}}{{30}}}  = \frac{{a\sqrt {210} }}{{30}}$.

d) Gọi $G$ là hình chiếu của $A$ trên $\left( {SCD} \right)$.

Ta có $AB\parallel CD$ nên $AB\parallel \left( {SCD} \right)$, mà $SD \subset \left( {SCD} \right)$, nên khoảng cách giữa 2 đường thẳng $AB$ và $SD$ cũng bằng khoảng cách giữa $AB$ và $\left( {SCD} \right)$, và bằng khoảng cách từ $A$ đến $\left( {SCD} \right)$. Do $G$ là hình chiếu của $A$ trên $\left( {SCD} \right)$, nên khoảng cách cần tìm là đoạn thẳng $AG$.

Do $OH \bot \left( {SCD} \right)$, $AG \bot \left( {SCD} \right)$ nên $OH\parallel AG$.

Tam giác $ACG$ có $OH\parallel AG$, nên theo định lí Thales ta có $\frac{{OH}}{{AG}} = \frac{{CO}}{{CA}} = \frac{1}{2}$.

Suy ra $AG = 2OH$. Mà $OH = \frac{{a\sqrt {210} }}{{30}}$ nên $AG = \frac{{a\sqrt {210} }}{{15}}$.