Giải bài 47 trang 79 sách bài tập toán 8 – Cánh diều

Đề bài

Cho tam giác $ABC$. Lấy $E,F,P$ lần lượt thuộc $AB,AC,BC$ sao cho tứ giác $BEFP$ là hình bình hành (Hình 45). Biết diện tích tam giác $AEF$ và $CFP$ lần lượt bằng $16c{m^2}$ và $25c{m^2}$.

a)      Hãy chỉ ra ba cặp tam giác đồng dạng.

b)     Tính diện tích tam giác $ABC$.

 

Lời giải chi tiết

a)      Ba cặp tam giác đồng dạng là $\Delta AEF\backsim \Delta ABC,\Delta FPC\backsim \Delta ABC,\Delta AEF\backsim \Delta FPC$.

b)     Ta có $\Delta AEF\backsim \Delta ABC,\Delta FPC\backsim \Delta ABC$ nên $\frac{{{S_{\Delta AEF}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}} = {\left( {\frac{{EF}}{{BC}}} \right)^2}$

$=  > \sqrt {\frac{{{S_{\Delta AEF}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}}}  = \frac{{EF}}{{BC}}$ (1)

Tương tự $\sqrt {\frac{{{S_{\Delta FPC}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}}}  = \frac{{CP}}{{BC}}$ (2)

Từ (1) và (2)

 $\begin{array}{l} =  > \sqrt {\frac{{{S_{\Delta AEF}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}}}  + \sqrt {\frac{{{S_{\Delta FPC}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}}}  = \frac{{EF}}{{BC}} + \frac{{CP}}{{BC}} = \frac{{BP}}{{BC}} + \frac{{CP}}{{BC}} = 1\\ =  > {\left( {\sqrt {\frac{{{S_{\Delta AEF}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}}}  + \sqrt {\frac{{{S_{\Delta FPC}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}}} } \right)^2} = 1\end{array}$

Hay $\begin{array}{l}{\left( {\sqrt {\frac{{16}}{{{S_{\Delta ABC}}}}}  + \sqrt {\frac{{25}}{{{S_{\Delta ABC}}}}} } \right)^2}\\ =  > {S_{\Delta ABC}} = 81c{m^2}\end{array}$

Vậy diện tích tam giác $ABC$ bằng 81 cm².