Bài 47 trang 175 SBT toán 9 tập 2

Đề bài

Với nửa hình cầu bán kính $r$ và một hình trụ có bán kính đường tròn đáy và chiều cao đều bằng $h$.

a) Khi $r = 12\; (cm)$ và thể tích hai hình bằng nhau thì giá trị $h\; (cm)$ làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất là bao nhiêu?

b) Khi $h = 12\, (cm)$ và tổng diện tích nửa mặt cầu và diện tích “hình tròn đáy” gấp ba lần diện tích toàn phần của hình trụ thì $r (cm)$ bằng bao nhiêu?

Lời giải chi tiết

a) Thể tích nửa hình cầu bán kính $12 cm$ là:

$\displaystyle V = {1 \over 2}.{4 \over 3}\pi {.12^3} = 1152\pi \left( {c{m^3}} \right)$

Bán kính đáy hình trụ là: $\displaystyle R= h$

Thể tích hình trụ là: $V = \pi {R^2}.h$$\displaystyle = \pi .h^2.h = \pi .{h^3}$

Theo đề bài ta có:

$\displaystyle V= \pi .{h^3} = 1152\pi$

$\Rightarrow {h^3} = 1152$

$\Rightarrow  \displaystyle h = \root 3 \of {1152} \approx 10,5\,\left( {cm} \right)$.

b) Khi $h = 12\, (cm)$ thì bán kính đáy hình trụ là $R=12\,(cm)$.

Diện tích xung quanh hình trụ là:

${S_{xq}} = 2\pi R.h = 2\pi .12.12 = 288\pi$ $\left( {c{m^2}} \right).$

Diện tích một mặt đáy của hình trụ là:

${S _đ} = \pi {R^2} = \pi {.12^2} = 144\pi \,\left( {c{m^2}} \right).$

Diện tích toàn phần của hình trụ là:

${S_{TP}} = {S_{xq}} + 2{S_đ}$$\,= 288\pi  + 2.144\pi  = 576\pi \,\left( {c{m^2}} \right).$

Diện tích nửa mặt cầu là: ${S_c} = \dfrac{1}{2}.4\pi {r^2} = 2\pi {r^2}\,\left( {c{m^2}} \right).$

Diện tích hình tròn đáy của nửa mặt cầu là: $S = \pi {r^2}\,\left( {c{m^2}} \right).$

Tổng diện tích nửa mặt cầu và diện tích “hình tròn đáy” gấp ba lần diện tích toàn phần của hình trụ nên ta có:

$\begin{array}{l} {S_c} + S = 3{S_{TP}}\\ \Rightarrow 2\pi {r^2} + \pi {r^2} = 3.576\pi \\ \Rightarrow 3\pi {r^2} = 1728\pi \\ \Rightarrow {r^2} = 576\\ \Rightarrow r = \sqrt {576} = 24 \,\left( {cm} \right). \end{array}$

HocTot.Nam.Name.Vn