Giải bài 4.36 trang 72 SGK Toán 10 – Kết nối tri thức

Đề bài

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho A (1; 2), B (3; 4), C (-1; -2) và D (6;5).

a) Hãy tìm tọa độ của các vectơ $\overrightarrow {AB}$ và $\overrightarrow {CD}$

b) Hãy giải thích tại sao các vectơ $\overrightarrow {AB}$ và $\overrightarrow {CD}$ cùng phương.

c) Giả sử E là điểm có tọa độ (a; 1). Tìm a để các vectơ $\overrightarrow {AC}$ và $\overrightarrow {BE}$ cùng phương.

d) Với a tìm được, hãy biểu thị vectơ $\overrightarrow {AE}$ theo các vectơ $\overrightarrow {AB}$ và $\overrightarrow {AC}$.

Lời giải chi tiết

a) Ta có:  $\overrightarrow {AB}  = (3 - 1;4 - 2) = (2;2)$ và $\overrightarrow {CD}  = (6 - ( - 1);5 - ( - 2)) = (7;7)$

b) Dễ thấy: $(2;2) = \frac{2}{7}.(7;7)$$\Rightarrow \overrightarrow {AB}  = \frac{2}{7}.\overrightarrow {CD}$

Vậy hai vectơ $\overrightarrow {AB}$ và $\overrightarrow {CD}$ cùng phương.

c) Ta có: $\overrightarrow {AC}  = ( - 1 - 1; - 2 - 2) = ( - 2; - 4)$ và $\overrightarrow {BE}  = (a - 3;1 - 4) = (a - 3; - 3)$

Để $\overrightarrow {AC}$ và $\overrightarrow {BE}$ cùng phương thì $\frac{{a - 3}}{{ - 2}} = \frac{{ - 3}}{{ - 4}}$$\Leftrightarrow a - 3 =  - \frac{3}{2}$$\Leftrightarrow a = \frac{3}{2}$

Vậy $a = \frac{3}{2}$ hay $E\left( {\frac{3}{2};1} \right)$ thì hai vectơ $\overrightarrow {AC}$ và $\overrightarrow {BE}$ cùng phương

d)

Cách 1:

Ta có: $\overrightarrow {BE}  = \left( {\frac{3}{2} - 3; - 3} \right) = \left( { - \frac{3}{2}; - 3} \right)$ ; $\overrightarrow {AC}  = ( - 2; - 4)$

$\Rightarrow \overrightarrow {BE}  = \frac{3}{4}.\overrightarrow {AC}$

Mà $\overrightarrow {AE}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BE}$ (quy tắc cộng)

$\Rightarrow \overrightarrow {AE}  = \overrightarrow {AB}  + \frac{3}{4}.\overrightarrow {AC}$

Cách 2:

Giả sử $\overrightarrow {AE}  = m\,.\,\overrightarrow {AB}  + n\,.\,\overrightarrow {AC}$(*)

Ta có:  $\overrightarrow {AE}  = \left( {\frac{1}{2}; - 1} \right)$, $m\,.\,\overrightarrow {AB}  = m\left( {2;2} \right) = (2m;2m)$, $n\,.\,\overrightarrow {AC}  = n( - 2; - 4) = ( - 2n; - 4n)$

Do đó (*) $\Leftrightarrow \left( {\frac{1}{2}; - 1} \right) = (2m;2m) + ( - 2n; - 4n)$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {\frac{1}{2}; - 1} \right) = (2m - 2n;2m - 4n)\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{2} = 2m - 2n\\ - 1 = 2m - 4n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 1\\n = \frac{3}{4}\end{array} \right.\end{array}$

Vậy $\overrightarrow {AE}  = \overrightarrow {AB}  + \frac{3}{4}.\overrightarrow {AC}$