Bài 4.35 trang 171 SBT đại số và giải tích 11

Đề bài

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ xác định trên khoảng (a; b) chứa điểm x₀

Chứng minh rằng nếu $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} {{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)} \over {x - {x_0}}} = L$ thì hàm số $f\left( x \right)$ liên tục tại điểm x₀

Hướng dẫn: Đặt $g\left( x \right) = {{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)} \over {x - {x_0}}} - L$ và biểu diễn $f\left( x \right)$ qua $g\left( x \right)$

Lời giải chi tiết

Đặt $g\left( x \right) = {{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)} \over {x - {x_0}}} - L$

Suy ra $g\left( x \right)$ xác định trên $\left( {a{\rm{ }};{\rm{ }}b} \right)\backslash \left\{ {{x_0}} \right\}$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g\left( x \right) = 0$

Mặt khác, $f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right) + L\left( {x - {x_0}} \right) + \left( {x - {x_0}} \right)g\left( x \right)$ nên

$\eqalign{ & \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f\left( {{x_0}} \right) + L\left( {x - {x_0}} \right) + \left( {x - {x_0}} \right)g\left( x \right)} \right] \cr  & = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( {{x_0}} \right) + \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} L\left( {x - {x_0}} \right) + \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left( {x - {x_0}} \right).\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right). \cr}$ 

Vậy hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục tại $x_0$.

 HocTot.Nam.Name.Vn