Bài 4.39 trang 171 SBT đại số và giải tích 11

LG a

${x^5} - 3x - 7 = 0$ luôn có nghiệm ;

Phương pháp giải:

Hàm số $y = f\left( x \right)$ xác định và liên tục trên $\left( {a;b} \right)$. Nếu $f\left( a \right).f\left( b \right) < 0$ thì tồn tại ít nhất một số $c \in \left( {a;b} \right)$ sao cho $f\left( c \right) = 0$.

Lời giải chi tiết:

Hàm số $f\left( x \right) = {x^5} - 3x - 7$ liên tục trên $\mathbb{R}$ nên liên tục trên $\left[ {0;2} \right]$

Ta có: $f\left( 0 \right) =  - 7,f\left( 2 \right) = 19$ $\Rightarrow f\left( 0 \right).f\left( 2 \right) < 0$

Vậy phương trình $f\left( x \right) = 0$ luôn có ít nhất một nghiệm thuộc $\left( {0;2} \right)$.

Quảng cáo

LG b

$\cos 2x = \sin x - 2$ có ít nhất hai nghiệm trong khoảng $\left( { - {\pi  \over 6};\pi } \right)$ ;

Lời giải chi tiết:

Hàm số $f\left( x \right) = \cos 2x - 2\sin x + 2$ liên tục trên $\mathbb{R}$ nên liên tục trên $\left[ { - \dfrac{\pi }{6};\dfrac{\pi }{2}} \right]$ và $\left[ {\dfrac{\pi }{2};\pi } \right]$

Ta có:

$f\left( { - \dfrac{\pi }{6}} \right)$ $= \cos \left( { - \dfrac{\pi }{3}} \right) - 2\sin \left( { - \dfrac{\pi }{6}} \right) + 2 = \dfrac{7}{2}$

$f\left( {\dfrac{\pi }{2}} \right) =  - 1$

$f\left( \pi  \right) = 3$

$\Rightarrow f\left( { - \dfrac{\pi }{6}} \right).f\left( {\dfrac{\pi }{2}} \right) < 0$ nên phương trình $f\left( x \right) = 0$ có ít nhất một nghiệm thuộc $\left( { - \dfrac{\pi }{6};\dfrac{\pi }{2}} \right)$.

$f\left( {\dfrac{\pi }{2}} \right).f\left( \pi  \right) < 0$ nên phương trình $f\left( x \right) = 0$ có ít nhất một nghiệm thuộc $\left( {\dfrac{\pi }{2};\pi } \right)$.

Vậy phương trình $f\left( x \right) = 0$ có ít nhất hai nghiệm thuộc $\left( { - \dfrac{\pi }{6};\pi } \right)$.

LG c

$\sqrt {{x^3} + 6x + 1}  - 2 = 0$ có nghiệm dương.

Lời giải chi tiết:

Ta có,

$\eqalign{ & \sqrt {{x^3} + 6x + 1} - 2 = 0 \cr  & \Leftrightarrow {x^3} + 6x + 1 = 4 \cr  & \Leftrightarrow {x^3} + 6x - 3 = 0 \cr}$

Hàm số $f\left( x \right) = {x^3} + 6x - 3$ liên tục trên R nên liên tục trên đoạn [0; 1]              (1)

Ta có $f\left( 0 \right)f\left( 1 \right) =  - 3.4 < 0$            (2)

Từ (1) và (2) suy ra phương trình ${x^3} + 6x - 3 = 0$ có ít nhất một nghiệm thuộc (0; 1)

Do đó, phương trình $\sqrt {{x^3} + 6x + 1}  - 2 = 0$ có ít nhất một nghiệm dương.

HocTot.Nam.Name.Vn