Giải bài 4.27 trang 58 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho ba điểm $A(1;2),\,\,B(3;4)$ và $C(2; - 1).$

a) Chứng minh rằng $A,\,\,B,\,\,C$ là ba đỉnh của một tam giác. Tìm tọa độ trọng tâm của tam giác đó.

b) Tìm tọa độ tâm $I$ của đường tròn ngoại tiếp và trực tâm $H$ của tam giác $ABC.$

Lời giải chi tiết

a) Ta có: $\overrightarrow {AB}  = (2;2)$ và $\overrightarrow {AC}  = (1; - 3)$

Do $\frac{2}{1} \ne \frac{2}{{ - 3}}$ nên các vectơ $\overrightarrow {AB}$ và $\overrightarrow {AC}$ không cùng phương.

$\Rightarrow$ ba điểm $A,\,\,B,\,\,C$ là ba đỉnh của một tam giác.

Gọi $G$ là trọng tâm của $\Delta ABC$ nên $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{{1 + 3 + 2}}{3} = 2}\\{y = \frac{{2 + 4 - 1}}{3} = \frac{5}{3}}\end{array}} \right.$

Vậy $G\left( {2;\frac{5}{3}} \right).$

b) Gọi $I(x;y)$ của đường tròn ngoại tiếp và $H(x';y')$ là trực tâm của $\Delta ABC.$

Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{I{A^2} = I{B^2}}\\{I{A^2} = I{C^2}}\end{array}} \right.\,\, \Leftrightarrow \,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\left( {x - 1} \right)}^2} + {{\left( {y - 2} \right)}^2} = {{\left( {x - 3} \right)}^2} + {{\left( {y - 4} \right)}^2}}\\{{{\left( {x - 1} \right)}^2} + {{\left( {y - 2} \right)}^2} = {{\left( {x - 2} \right)}^2} + {{\left( {y + 1} \right)}^2}}\end{array}} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + y = 5}\\{x - 3y = 0}\end{array}\,\, \Leftrightarrow \,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{{15}}{4}}\\{y = \frac{5}{4}}\end{array}} \right.} \right.$

Vậy $I\left( {\frac{{15}}{4};\frac{5}{4}} \right).$

Ta có: $\overrightarrow {IH}  = 3\overrightarrow {IG}$ $\Leftrightarrow \left( {x' - \frac{{15}}{4};y' - \frac{5}{4}} \right) = 3\left( {\frac{{ - 7}}{4};\frac{5}{{12}}} \right)$

$\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x' - \frac{{15}}{4} = \frac{{ - 21}}{4}}\\{y' - \frac{5}{4} = \frac{5}{4}}\end{array}} \right.\,\, \Leftrightarrow \,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x' = \frac{{ - 3}}{2}}\\{y' = \frac{5}{2}}\end{array}} \right.$

Vậy $H\left( {\frac{{ - 3}}{2};\frac{5}{2}} \right).$