Giải bài 4.23 trang 58 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho ba điểm $A(2; - 1),\,\,B(1;4)$ và $C(7;0).$

a)  Tính độ dài các đoạn thẳng $AB,\,\,BC$ và $CA.$ Từ đó suy ra tam giác $ABC$ là một tam giác vuông cân.

b) Tìm tọa độ của điểm $D$ sao cho tứ giác $ABDC$ là một hình vuông.

Lời giải chi tiết

a)      Ta có: $AB = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {{{\left( {1 - 2} \right)}^2} + {{\left( {4 + 1} \right)}^2}}  = \sqrt {26}$

$AC = \left| {\overrightarrow {AC} } \right| = \sqrt {{{\left( {7 - 2} \right)}^2} + {{\left( {0 + 1} \right)}^2}}  = \sqrt {26}$

$BC = \left| {\overrightarrow {BC} } \right| = \sqrt {{{\left( {7 - 1} \right)}^2} + {{\left( {0 - 4} \right)}^2}}  = \sqrt {52}  = 2\sqrt {13}$

Xét $\Delta ABC$ có: $A{B^2} + A{C^2} = 26 + 26 = 52 = B{C^2}$

$\Rightarrow$ $\Delta ABC$ vuông tại $A$

mặt khác $AB = AC = \sqrt {26}$

nên $\Delta ABC$ vuông cân tại $A$

b)     Gọi điểm $D$ có tọa độ là: $D(x;y).$

Xét hình vuông $ABDC$ có:

$\begin{array}{l}\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {CD} \\ \Leftrightarrow \,\,(1 - 2;4 + 1) = (x - 7;y - 0)\\ \Leftrightarrow \,\,( - 1;5) = (x - 7;y)\\ \Leftrightarrow \,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - 7 =  - 1}\\{y = 5}\end{array}} \right.\,\, \Leftrightarrow \,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 6}\\{y = 5}\end{array}} \right.\end{array}$

Vậy $D(6;5)$