Bài 42 trang 174 SBT toán 9 tập 2

Đề bài

Độ dài các cạnh của một tam giác $ABC$ vuông tại $A$, thỏa mãn các hệ thức sau:

$BC = AB + 2a$  (1)

$\displaystyle AC = {1 \over 2}\left( {BC + AB} \right)$ (2)

$a$ là một độ dài cho trước

a) Tính theo $a$, độ dài các cạnh và chiều cao $AH$ của tam giác.

b) Tam giác $ABC$ nội tiếp được trong nửa hình tròn tâm $O.$ Tính diện tích của phần thuộc nửa đường tròn nhưng ở ngoài tam giác đó.

c) Cho tam giác $ABC$ quay một vòng quanh cạnh huyền $BC.$ Tính tỉ số diện tích giữa các phần do các dây cung $AB$ và $AC$ tạo ra.

Lời giải chi tiết

a) Đặt độ dài cạnh $AB = x$; điều kiện $x > 0$.

Theo điều kiện (1) ta có: $BC = x + a$  (3)

Từ (2) và (3) $\Rightarrow\displaystyle AC = {1 \over 2}\left( {x + 2a + x} \right) = x + a$

Áp dụng định lí Pitago vào $\Delta ABC$ vuông tại A, ta có:

$B{C^2} = A{B^2} + A{C^2}$

$\Rightarrow {\left( {x + 2a} \right)^2} = {x^2} + {\left( {x + a} \right)^2}$

$\Rightarrow {x^2} + 4ax + 4{a^2} = {x^2} + {x^2} + 2ax$$\,+ {a^2}$

$\Rightarrow{x^2} - 2ax - 3{a^2} = 0$

$\Delta = {\left( { - 2a} \right)^2} - 4.1\left( { - 3{a^2}} \right)$$\,= 4{a^2} + 12{a^2} = 16{a^2} > 0$

$\Rightarrow \sqrt \Delta = \sqrt {16{a^2}} = 4a$

$\displaystyle {x_1} = {{2a + 4a} \over {2.1}} = {{6a} \over 2} = 3a$

$\displaystyle {x_2} = {{2a - 4a} \over {2.1}} = - a$

Vì $x > 0$ $\Rightarrow {x_2} =  - a$  (loại)

Vậy cạnh $AB = 3a; AC = 3a + a = 4a;$ $BC = 3a + 2a =5a$.

Ta có $AH.BC = AB.AC$ (hệ thức lượng trong tam giác vuông $ABC)$

$\displaystyle \Rightarrow AH = {{AB.AC} \over {BC}} = {{3a.4a} \over {5a}}$$\,\displaystyle  = {{12a} \over 5}$

b) Diện tích của $\Delta ABC$ là:

$\displaystyle {S_1} = {1 \over 2}AB.AC = {1 \over 2}.3a.4a = 6{a^2}$ (đơn vị diện tích)

$\Delta ABC$ nội tiếp trong đường tròn (O) có bán kính: $\displaystyle R = {{BC} \over 2} = {{5a} \over 2}$

Diện tích nửa hình tròn là: $\displaystyle {S_2} = {1 \over 2}\pi .{r^2} = {1 \over 2}\pi .{\left( {{{5a} \over 2}} \right)^2}$$\,\displaystyle  = {{25\pi {a^2}} \over 8}$

Phần diện tích nửa hình tròn nằm ngoài tam giác là:

$\displaystyle S = {S_2} - {S_1} = {{25\pi {a^2}} \over 8} - 6{a^2}$$\,\displaystyle = {{{a^2}} \over 8}\left( {25\pi  - 48} \right)$

c) Khi quay $\Delta ABC$ một vòng quanh cạnh $BC$ thì $AB$ và $AC$ vạch lên hai hình nón có bán kính đáy là $AH.$

Diện tích xung quanh hình nón do dây cung $AB$ tạo ra là: 

$\displaystyle {S_1} = \pi .AH.AB = \pi .AH.3a$

Diện tích xung quanh hình nón do dây cung cung $AC$ tạo ra là:

${S_2} = \pi .AH.AC = \pi AH.4a$

Tỉ số diện tích giữa các phần do các dây cung $AB$ và $AC$ tạo ra là:

$\displaystyle {{{S_1}} \over {{S_2}}} = {{\pi .AH.3a} \over {\pi .AH.4a}} = {3 \over 4}$.

HocTot.Nam.Name.Vn