Giải bài 4 trang 96 SGK Toán 7 tập 2 - Cánh diều

Đề bài

Trong Hình 76, cho biết các tam giác ABD và BCE là tam giác đều và A, B, C thẳng hàng. Chứng minh rằng:

 

a) AD // BE và BD // CE;

b) $\widehat {ABE} = \widehat {DBC} = 120^\circ$;

c) AE = CD.

Lời giải chi tiết

a)

Tam giác ABD và BCE là tam giác đều nên $\widehat {EBC} = \widehat {DAB} = 60^\circ$

Vì A, B, C thẳng hàng nên $\widehat {DAB}= \widehat {DAC}$ suy ra $\widehat {EBC} = \widehat {DAB}$.

Mà góc EBC và góc DAC ở vị trí đồng vị nên AD // BE.

Tam giác ABD và BCE là tam giác đều nên $\widehat {DBA} = \widehat {ECB} = 60^\circ$

Vì A, B, C thẳng hàng nên  $\widehat {ECB}= \widehat {ECA}$ suy ra $\widehat {DBA} = \widehat {ECB}$.

Mà góc DBA và góc ECA ở vị trí đồng vị nên BD // CE.

b) Ta có A, B, C thẳng hàng nên góc ABC bằng 180°. Mà $\widehat {DBA} = \widehat {EBC} = 60^\circ  \Rightarrow \widehat {DBE} = 60^\circ$.

Vậy $\widehat {ABE} = \widehat {DBC} = 120^\circ$ ($\widehat {ABE} = \widehat {DBA} + \widehat {DBE};\widehat {DBC} = \widehat {DBE} + \widehat {EBC}$).

c) Tam giác ABD và BCE là tam giác đều 

$\Rightarrow AB=AD, BE=BC$

Xét hai tam giác ABE và DBC có:

     AB = DB;

     $\widehat {ABE} = \widehat {DBC} = 120^\circ$;

     BE = BC.

$\Rightarrow \Delta ABE = \Delta DBC$ (c.g.c)

Do đó, AE = DC ( 2 cạnh tương ứng).

$\widehat {ABE} = \widehat {DBC} = 120^\circ$