Giải bài 4 trang 88 vở thực hành Toán 9 tập 2

Đề bài

Cho đường tròn (O) và hai dây cung AB, CD cắt nhau tại điểm I nằm trong (O) như hình bên. 

a) Biết rằng $\widehat {AOC} = {60^o},\widehat {BOD} = {80^o}$. Tính số đo của góc AID.

b) Chứng minh rằng $IA.IB = IC.ID$.

Lời giải chi tiết

a) Xét đường tròn (O), ta có:

- Góc nội tiếp ADC và góc ở tâm AOC cùng chắn cung AC nên $\widehat {ADC} = \frac{{\widehat {AOC}}}{2} = {30^o}$.

- Góc nội tiếp BAD và góc ở tâm BOD cùng chắn cung DB nên $\widehat {BAD} = \frac{{\widehat {BOD}}}{2} = {40^o}$.

Do tổng ba góc trong tam giác AID bằng ${180^o}$ nên:

$\widehat {AID} = {180^o} - \widehat {IAD} - \widehat {IDA} = {180^o} - \widehat {ADC} - \widehat {BAD} = {110^o}$

b) Hai tam giác IAC và tam giác IDB có: $\widehat {AIC} = \widehat {DIB}$ (hai góc đối đỉnh), $\widehat {CAI} = \widehat {CAB} = \widehat {CDB} = \widehat {IDB}$ (vì $\widehat {CAB}$ và $\widehat {CDB}$ là hai góc nội tiếp của (O) cùng chắn cung nhỏ $\overset\frown{CB}$)

Suy ra $\Delta IAC\backsim \Delta IDB\left( g.g \right)$. Do đó, $\frac{{IA}}{{ID}} = \frac{{IC}}{{IB}}$, hay $IA.IB = IC.ID$.