Bài 4 trang 184 SBT toán 8 tập 2

Đề bài

Cho tam giác nhọn $ABC (AC > AB)$, đường cao $AH.$ Gọi $D, E, F$ theo thứ tự là trung điểm của $AB, AC, BC.$

a) Xác định dạng của tứ giác $DECH, BDEF$ và $DEFH.$

b) Biết $AH = 8cm, HB = 4cm,$ $HC = 6cm,$ tính diện tích các tứ giác $DECH, BDEF$ và $DEFH.$

c) Tính độ dài $HE.$

Lời giải chi tiết

a) $DE$ là đường trung bình của $\Delta ABC$ nên $DE//BC;DE = \dfrac{1}{2}BC$.

Tứ giác $DECH$ có $DE//HC$ nên  là hình thang.

Tứ giác $BDEF$ có $DE//BF; DE=BF= \dfrac{1}{2}BC$ nên là hình bình hành.

Xét tam giác $AHC$ vuông tại $H$, có đường trung tuyến $HE$ ứng với cạnh huyền $AC$ nên $HE = \dfrac{1}{2}AC$.

$DF$ là đường trung bình của $\Delta ABC$ nên $DF//AC;DF = \dfrac{1}{2}AC$.

Tứ giác $DEFH$ có $DE//HF$ và $DF = HE = \dfrac{1}{2}AC$ nên là hình thang cân.

b) $BC=HB+HC=4+6=10 \;(cm)$.

$BF=FC=DE=BC:2=10:2$$\,=5\;(cm)$.

$HF=BF-BH=5-4=1\;(cm)$.

Hình thang $DEFH$, hình thang $DECH$ và hình bình hành $BDEF$ có cùng chiều cao bằng $\dfrac{1}{2}AH = \dfrac{1}{2}.8 = 4\,cm$.

Diện tích của hình thang $DEFH$ là:

${S_{DEFH}} = \dfrac{1}{2}.\left( {1 + 5} \right).4 = 12\,\left( {c{m^2}} \right)$

Diện tích hình thang $DECH$ là:

${S_{DECH}} = \dfrac{1}{2}.\left( {5 + 6} \right).4 = 22\,\left( {c{m^2}} \right)$

Diện tích hình bình hành $BDEF$ là:

${S_{BDEF}} = 4.5 = 20\,\left( {c{m^2}} \right)$

c) Áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông $AHC$, ta có:

$\begin{array}{l} A{C^2} = A{H^2} + H{C^2} = {8^2} + {6^2} = 100\\ \Rightarrow AC = \sqrt {100} = 10 \end{array}$

Suy ra $HE = \dfrac{1}{2}AC = \dfrac{1}{2}.10 = 5\,\left( {cm} \right)$.

HocTot.Nam.Name.Vn