Giải bài 4 trang 13 Chuyên đề học tập Toán 10 – Chân trời sáng tạo

Đề bài

Tìm phương trình của parabol $(P):y = a{x^2} + bx + c\;(a \ne 0)$biết:

a) (P) có trục đối xứng $x = 1$ và đi qua hai điểm $A(1; - 4),B(2; - 3).$

b) (P) có đỉnh $I\left( {\frac{1}{2};\frac{3}{4}} \right)$ và đi qua điểm $M( - 1;3)$

Lời giải chi tiết

Trục đối xứng $x =  - \frac{b}{{2a}}$

Đỉnh $I\left( { - \frac{b}{{2a}}; - \frac{\Delta }{{4a}}} \right)$ với $\Delta  = {b^2} - 4ac$

Lời giải chi tiết

a) (P) có trục đối xứng $x = 1 \Rightarrow  - \frac{b}{{2a}} = 1 \Leftrightarrow 2a + b = 0\quad (1)$

Thay tọa độ 2 điểm $A(1; - 4),B(2; - 3)$ vào phương trình của parabol, kết hợp (1) ta được hệ phương trình:

 $\left\{ \begin{array}{l}2a + b = 0\quad (1)\\a + b + c =  - 4\quad \;(2)\\4a + 2b + c =  - 3\quad (3)\end{array} \right.$

Sử dụng máy tính cầm tay, ta suy ra $a = 1,b =  - 2,c =  - 3$

Vậy phương trình của parabpol (P) là $y = {x^2} - 2x - 3$

b) (P) có đỉnh  $I\left( {\frac{1}{2};\frac{3}{4}} \right) \Rightarrow  - \frac{b}{{2a}} = \frac{1}{2}\quad (1)\;; - \frac{{{b^2} - 4ac}}{{4a}} = \frac{3}{4}\quad (2)$

$(1) \Leftrightarrow a + b = 0$ Thay $b =  - a$ vào (2) ta được: $(2) \Leftrightarrow {a^2} - 4ac =  - 3a \Leftrightarrow a - 4c =  - 3$ (do $a \ne 0$)

Thay tọa độ điểm $M( - 1;3)$ vào phương trình của parabol, ta được: $a - b + c = 3$

Kết hợp (1) và (2) ta được hệ phương trình:

 $\left\{ \begin{array}{l}a + b = 0\quad (1)\\a - 4c =  - 3\quad \;(2)\\a - b + c = 3\quad (3)\end{array} \right.$

Sử dụng máy tính cầm tay, ta suy ra $a = 1,b =  - 1,c = 1$

Vậy phương trình của parabpol (P) là $y = {x^2} - x + 1$