Giải bài 4 trang 104 vở thực hành Toán 9 tập 2

Đề bài

Cho hình thoi ABCD có $\widehat A = {60^o}$. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Chứng minh rằng MBNPDQ là lục giác đều.

Lời giải chi tiết

Theo hình vẽ, ta thấy$MBNPDQ$ là lục giác lồi. Gọi $a$ là độ dài cạnh hình thoi. Như vậy: $BM = BN = DP = DQ = \frac{a}{2}.$

Mặt khác, các tam giác cân $AMQ$ và $CNP$ có $\widehat A = \widehat C = {60^{\rm{o}}}$ nên chúng là tam giác đều.

Do đó $MQ = AM = \frac{a}{2},\,\,NP = CP = \frac{a}{2}.$ Hơn nữa $\widehat {QMB} = {180^{\rm{o}}} - \widehat {QMA} = {120^{\rm{o}}}.$

Tương tự, $\widehat {BNP} = \widehat {NPD} = \widehat {DQM} = {120^{\rm{o}}}.$

Vì $ABCD$ là hình thoi nên $\widehat {MBN} = \widehat {PDQ} = {180^{\rm{o}}} - \widehat A = {120^{\rm{o}}}.$ Vậy $MBNPDQ$ là lục giác lồi có tất cả các cạnh và các góc bằng nhau và do đó là lục giác đều.