Giải bài 4 trang 102 SGK Toán 10 tập 1 – Chân trời sáng tạo

Đề bài

Cho hình bình hành ABCD hai điểm M và N lần lượt là trung điểm của BC và AD. Vẽ điểm E sao cho $\overrightarrow {CE}  = \overrightarrow {AN}$ (hình 1)

a) Tìm tổng của các vectơ:

$\overrightarrow {NC}$ và $\overrightarrow {MC}$; $\overrightarrow {AM}$ và $\overrightarrow {CD}$; $\overrightarrow {AD}$ và $\overrightarrow {NC}$

b) Tìm các vectơ hiệu:

$\overrightarrow {NC}  - \overrightarrow {MC}$; $\overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {BC}$; $\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {ME}$.

 c) Chứng minh $\overrightarrow {AM}  + \overrightarrow {AN}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}$

Lời giải chi tiết

a) Ta có: $\overrightarrow {CE}  = \overrightarrow {AN}  \Rightarrow CE//AN$ và $CE = AN = ND = BM = MC$

Suy ra $\overrightarrow {MC}  = \overrightarrow {CE}$

+) $\overrightarrow {NC}  + \overrightarrow {MC}  = \overrightarrow {NC}  + \overrightarrow {CE}  = \overrightarrow {NE}$

+) ABCD là hình bình hành nên $\overrightarrow {CD}  = \overrightarrow {BA}$

$\overrightarrow {AM}  + \overrightarrow {CD}  = \overrightarrow {AM}  + \overrightarrow {BA}  = \overrightarrow {BM}$

+) Ta có $\overrightarrow {MC}  = \overrightarrow {AN}  \Rightarrow AMCN$ là hình bình hành nên $\overrightarrow {NC}  = \overrightarrow {AM}$

$\overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {NC}  = \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {AM}  = \overrightarrow {AE}$ (vì AMED là hình bình hành)

b) Ta có:

+) $\overrightarrow {NC}  - \overrightarrow {MC}  = \overrightarrow {NC}  + \overrightarrow {CM}  = \overrightarrow {NM}$

+) $\overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {CB}  = \overrightarrow {AB}$

+) $\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {ME}  = \overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {DA}  = \overrightarrow {DB}$

c) Ta có:

$\overrightarrow {AM}  + \overrightarrow {AN}  = \overrightarrow {AM}  + \overrightarrow {MC}  = \overrightarrow {AC}$

Áp dụng quy tắc hình bình hành vào hình bình hành ABCD ta có

$\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {AC}$

Từ đó suy ra $\overrightarrow {AM}  + \overrightarrow {AN}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}$ (đpcm)