Giải bài 37 trang 67 sách bài tập toán 9 - Cánh diều tập 1

Đề bài

a) Cho biểu thức: $C = \frac{1}{{\sqrt 2 }} + \frac{1}{{\sqrt 3 }} + \frac{1}{{\sqrt 4 }} + ... + \frac{1}{{\sqrt {24} }} + \frac{1}{{\sqrt {25} }}.$ Chứng minh $C > \frac{{24}}{5}.$

b) Cho biểu thức $D = \left( {\frac{{y - 2}}{{y + 2\sqrt y }} + \frac{1}{{\sqrt y  + 2}}} \right).\frac{{\sqrt y  + 1}}{{\sqrt y  - 1}}$ với $y > 0,y \ne 1.$ Chứng minh $D = \frac{{\sqrt y  + 1}}{{\sqrt y }}.$

Lời giải chi tiết

a) Ta có: $2 < 3 < 4 < ... < 25$ nên $\sqrt 2  < \sqrt 3  < \sqrt 4  < ... < \sqrt {25}$, do đó $\frac{1}{{\sqrt 2 }} > \frac{1}{{\sqrt 3 }} > \frac{1}{{\sqrt 4 }} > ... > \frac{1}{{\sqrt {25} }}$.

Suy ra $\frac{1}{{\sqrt 2 }} + \frac{1}{{\sqrt 3 }} + \frac{1}{{\sqrt 4 }} + ... + \frac{1}{{\sqrt {25} }} > \frac{1}{{\sqrt {25} }} + \frac{1}{{\sqrt {25} }} + \frac{1}{{\sqrt {25} }} + ... + \frac{1}{{\sqrt {25} }}$ (24 hạng tử $\frac{1}{{\sqrt {25} }}$).

Hay $C > 24.\frac{1}{{\sqrt {25} }}$. Vậy $C > \frac{{24}}{5}$.

b) $D = \left( {\frac{{y - 2}}{{y + 2\sqrt y }} + \frac{1}{{\sqrt y  + 2}}} \right).\frac{{\sqrt y  + 1}}{{\sqrt y  - 1}}$

 $\begin{array}{l} = \left( {\frac{{y - 2}}{{\sqrt y \left( {\sqrt y  + 2} \right)}} + \frac{1}{{\sqrt y  + 2}}} \right).\frac{{\sqrt y  + 1}}{{\sqrt y  - 1}}\\ = \frac{{y - 2 + \sqrt y }}{{\sqrt y \left( {\sqrt y  + 2} \right)}}.\frac{{\sqrt y  + 1}}{{\sqrt y  - 1}}\\ = \frac{{\left( {\sqrt y  - 1} \right)\left( {\sqrt y  + 2} \right)}}{{\sqrt y \left( {\sqrt y  + 2} \right)}}.\frac{{\sqrt y  + 1}}{{\sqrt y  - 1}}\\ = \frac{{\sqrt y  + 1}}{{\sqrt y }}\end{array}$

Vậy $D = \frac{{\sqrt y  + 1}}{{\sqrt y }}.$