Giải bài 36 trang 55 sách bài tập toán 11 - Cánh diều

Đề bài

Cho hình vuông ${C_1}$ có cạnh bằng 1. Gọi ${C_2}$ là hình vuông có các đỉnh là trung điểm các cạnh của hình vuông ${C_1}$; ${C_3}$ là hình vuông có các đỉnh là trung điểm các cạnh của hình vuông ${C_2}$; … Cứ tiếp tục quá trình như trên, ta được dãy các hình vuông ${C_1}$; ${C_2}$; ${C_3}$; … ; ${C_n}$; … Diện tích của hình vuông ${C_{2023}}$ là:

A. $\frac{1}{{{2^{2022}}}}$                   

B. $\frac{1}{{{2^{2023}}}}$          

C. $\frac{1}{{{2^{1011}}}}$                        

D. $\frac{1}{{{2^{1012}}}}$

Lời giải chi tiết

Do hình vuông ${C_2}$ có các đỉnh là trung điểm của hình vuông ${C_1}$, nên diện tích hình vuông ${C_2}$ bằng một nửa diện tích hình vuông ${C_1}$, tức là $\frac{{{S_{{C_2}}}}}{{{S_{{C_1}}}}} = \frac{1}{2}$.

Tương tự, ta có $\frac{{{S_{{C_3}}}}}{{{S_{{C_2}}}}} = \frac{1}{2}$, $\frac{{{S_{{C_4}}}}}{{{S_{{C_3}}}}} = \frac{1}{2}$, …, $\frac{{{S_{{C_{n + 1}}}}}}{{{S_{{C_n}}}}} = \frac{1}{2}$.

Xét dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ với ${u_n} = {S_{{C_n}}}$. Ta nhận thấy rằng $\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{{S_{{C_{n + 1}}}}}}{{{S_{{C_n}}}}} = \frac{1}{2}$, nên $\left( {{u_n}} \right)$ là một cấp số nhân với ${u_1} = {S_{{C_1}}} = 1$ và công bội $q = \frac{1}{2}$.

Do đó ${S_{{C_{2023}}}} = {u_{2023}} = {u_1}.{q^{2022}} = \frac{1}{{{2^{2022}}}}$.

Đáp án đúng là A.