Bài 3.5 trang 107 SBT đại số và giải tích 11

LG a

${2^n} > 2n + 1$ ;

Phương pháp giải:

- Đây thực chất là bài toán giải bất phương trình trên N*.

- Có thể dùng phép thử, sau đó dự đoán kết quả và chứng minh

Lời giải chi tiết:

Dùng phép thử với $n = 1,2,3,4$ta dự đoán: Với $n \ge 3$ thì bất đẳng thức đúng. Ta sẽ chứng minh điều đó bằng quy nạp.

+) Với $n = 3,$ hiển nhiên đã có kết quả đúng, vì ${2^3} = 8 > 2.3 + 1 = 7.$

+) Giả sử bất đẳng thức đúng với $n = k,$ tức là ${2^k} > 2k + 1{\rm{          (1)}}$

Ta sẽ chứng minh bất đẳng thức đúng với $n = k + 1,$ tức là

${2^{k + 1}} > 2k + 3{\rm{           }}\left( 2 \right)$

Thật vậy, nhân hai vế của (1) với 2, ta được

${2^{k + 1}} > 4k + 2 = 2k + 3 + 2k - 1 > 2k + 3.$

Quảng cáo

LG b

${2^n} > {n^2} + 4n + 5$

Phương pháp giải:

- Đây thực chất là bài toán giải bất phương trình trên N*.

- Có thể dùng phép thử, sau đó dự đoán kết quả và chứng minh.

Lời giải chi tiết:

Dùng phép thử.

+) Với n từ 1 đến 6, bất đẳng thức đều không đúng. Tuy nhiên không thể vội vàng kết luận bất phương trình vô nghiệm.

+) Nếu thử tiếp ta thấy rằng bất phương trình đúng khi $n = 7,8,...$

Ta chứng minh: Với $n \ge 7$ thì ${2^n} > {n^2} + 4n + 5$ bằng quy nạp.

+) Với $n=7$ thì $VT={2^7} = 128$

$VP= {7^2} + 4.7 + 5=82$

VT > VP nên bđt đúng.

+) Giả sử bđt đúng với $n=k\ge 7$, nghĩa là

${2^k} > {k^2} + 4k + 5$ (1)

Ta chứng minh bđt đúng với $n = k + 1$ nghĩa là ${2^{k + 1}} > {\left( {k + 1} \right)^2} + 4\left( {k + 1} \right) + 5$ hay ${2^{k + 1}} > {k^2} + 6k + 10$

Thật vậy,

Nhân cả hai vế của (1) với 2 ta được:

${2^{k + 1}} > 2{k^2} + 8k + 10$$= \left( {{k^2} + 6k + 10} \right) + {k^2} + 2k$

$> {k^2} + 6k + 10$ $\Rightarrow {2^{k + 1}} > {k^2} + 6k + 10$

Vậy ta có đpcm.

LG c

${3^n} > {2^n} + 7n$

Phương pháp giải:

- Đây thực chất là bài toán giải bất phương trình trên N*.

- Có thể dùng phép thử, sau đó dự đoán kết quả và chứng minh.

Lời giải chi tiết:

Với $n = 0,1,2,3$ thì bất đẳng thức không đúng.

Với $n = 4,5,...$ thì ta thấy bất đẳng thức đúng.

Dự đoán ${3^n} > {2^n} + 7,\forall n \ge 4$.

Thật vậy, với $n = 4$ thì $VT = {3^4} > {2^4} + 7.4 = VP$.

Giả sử bđt đúng với $n = k \ge 4$, nghĩa là ${3^k} > {2^k} + 7k\,\,\left( 1 \right)$.

Ta cần chứng minh ${3^{k + 1}} > {2^{k + 1}} + 7\left( {k + 1} \right)$.

Nhân của hai vế của $\left( 1 \right)$ với $3$ ta được ${3.3^k} > {3.2^k} + 21k$ $\Leftrightarrow {3^{k + 1}} > {3.2^k} + 21k$ $> {2.2^k} + 7k + 14k$ $> {2.2^k} + 7k + 7 = {2^{k + 1}} + 7\left( {k + 1} \right)$

Vậy $n \ge 4.$

HocTot.Nam.Name.Vn