Bài 3.3 trang 107 SBT đại số và giải tích 11

LG a

$2{n^3} - 3{n^2} + n$ chia hết cho $6$.

Phương pháp giải:

Để chứng minh một mệnh đề đúng với mọi $n \in {\mathbb{N}^*}$, ta tiến hành:

- Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng khi $n = 1$.

- Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên $n = k\left( {k \ge 1} \right)$ và chứng minh rằng nó cũng đúng với $n = k + 1$.

Lời giải chi tiết:

Đặt ${B_n} = 2{n^3} - 3{n^2} + n,$

+) Với $n = 1$ ta có: ${B_1} =2.1^3-3.1^2+1= 0 \vdots 6$

+) Giả sử đã có ${B_k} = 2{k^3} - 3{k^2} + k$ chia hết cho 6.

Ta phải chứng minh ${B_{k + 1}} = 2{\left( {k + 1} \right)^3} - 3{\left( {k + 1} \right)^2} + k + 1$ chia hết cho 6.

Thật vậy, $2{\left( {k + 1} \right)^3} - 3{\left( {k + 1} \right)^2} + k+1$ $= 2.\left( {{k^3} + 3{k^2} + 3k + 1} \right)$ $- 3\left( {{k^2} + 2k + 1} \right) + k + 1$

$\begin{array}{l} = 2{k^3} + 6{k^2} + 6k + 2 - 3{k^2} - 6k - 3 + k + 1\\ = 2{k^3} + 3{k^2} + k \end{array}$

$= \left( {2{k^3} - 3{k^2} + k} \right) + 6{k^2} \vdots 6$

Do $2{k^3} - 3{k^2} + k \vdots 6$ và $6{k^2} \vdots 6$.

Vậy ta có đpcm.

Quảng cáo

LG b

${11^{n + 1}} + {12^{2n - 1}}$ chia hết cho $133$.

Phương pháp giải:

Để chứng minh một mệnh đề đúng với mọi $n \in {\mathbb{N}^*}$, ta tiến hành:

- Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng khi $n = 1$.

- Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên $n = k\left( {k \ge 1} \right)$ và chứng minh rằng nó cũng đúng với $n = k + 1$.

Lời giải chi tiết:

Đặt ${A_n} = {11^{n + 1}} + {12^{2n - 1}}.$ Dễ thấy ${A_1} = 133,$ chia hết cho 133.

Giả sử đã có ${A_k} = {11^{k + 1}} + {12^{2k - 1}}$ chia hết cho 133.

Ta có ${A_{k + 1}} = {11^{k + 2}} + {12^{2k + 1}}$ $= {11.11^{k + 1}} + {12^{2k - 1}}{.12^2}$ ${\rm{ =  11}}{\rm{.1}}{{\rm{1}}^{k + 1}} + {12^{2k - 1}}\left( {11 + 133} \right)$ $= 11.{A_k} + {133.12^{2k - 1}}$

Vì ${A_k} \vdots 133$ nên $11{A_k} \vdots 133$

Mà ${133.12^{2k - 1}}\vdots 133$ nên ${A_{k + 1}} \vdots 133.$

Vậy ta có đpcm.

 HocTot.Nam.Name.Vn