Giải bài 3.44 trang 74 SGK Toán 8 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi M là trung điểm của BC còn P, N lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ M xuống CA, AB (H.3.59)

a) Chứng minh hai tam giác vuông CMP và MBN bằng nhau

b) Chứng minh tứ giác APMN là một hình chữ nhật. Từ đó suy ra N là trung điểm của AB, P là trung điểm của AC

c) Lấy điểm Q sao cho P là trung điểm của MQ, chứng minh rằng tứ giác AMCQ là một hình thoi

d) Nếu AB = AC, tức là tam giác ABC vuông cân tại A thì tứ giác AMCQ có là hình vuông không? Vì sao?

Lời giải chi tiết

a) Ta có MP⊥AC, AB⊥AC suy ra MP//AB nên \(\widehat {CMP} = \widehat B\)

Xét tam giác vuông CMP và MBN ta có:

CM = MB (gt)

\(\widehat {CMP} = \widehat B\)

Suy ra ΔCMP=ΔMBN (cạnh huyền – góc nhọn) 

b) Xét tứ giác APMN có \(\widehat P = \widehat A = \widehat N = {90^o}\)suy ra APMN là hình chữ nhật

Xét tam giác ABC có: M là trung điểm AB, MP//AB suy ra P là trung điểm AC

Tương tự ta có: M là trung điểm AB, MN//AC suy ra N là trung điểm AB

c) Xét tứ giác AMCQ có: P là trung điểm MQ, P là trung điểm AC, AC⊥MQ suy ra AMCQ là hình thoi

d) Nếu ABC vuông cân tại A , AM là đường trung tuyến suy ra AM cũng là đường cao suy ra\(\widehat {AMC} = {90^o}\)

Xét hình thoi AMCQ có \(\widehat {AMC} = {90^o}\)suy ra AMCQ là hình vuông