Bài 3.11 trang 118 SBT đại số và giải tích 11

LG a

Tìm công thức tính ${u_n}$ theo $n$ 

Phương pháp giải:

- Tính $u_2,u_3,...,u_{n+1}$

- Cộng vế với vế các đẳng thức, từ đó suy ra công thức tính $u_{n+1}$ theo $n$.

- Xét hiệu ${u_{n + 1}} - {u_n}$ và suy ra kết luận.

Lời giải chi tiết:

Ta có:

$\begin{array}{l}{u_1} = 5\\{u_2} = {u_1} + 1\\{u_3} = {u_2} + 4\\{u_4} = {u_3} + 7\\{u_5} = {u_4} + 10\\...\\{u_{n + 1}} = {u_n} + 3n - 2\end{array}$

Cộng vế với vế của các đẳng thức trên ta được:

${u_1} + {u_2} + ... + {u_n} + {u_{n + 1}}$ $= 5 + \left( {{u_1} + 1} \right) + \left( {{u_2} + 4} \right) + ... + \left( {{u_n} + 3n - 2} \right)$

$\Rightarrow {u_{n + 1}} = 5 + 1 + 4 + 7 + ... + \left( {3n - 2} \right)$

Ta chứng minh $1 + 4 + 7 + ... + \left( {3n - 2} \right) = \dfrac{{n\left( {3n - 1} \right)}}{2}$ bằng quy nạp.

Đặt ${S_n} = 1 + 4 + 7 + ... + \left( {3n - 2} \right)$

+) Với $n = 1$ thì ${S_1} = 1$ đúng.

+) Giả sử ${S_k} = \dfrac{{k\left( {3k - 1} \right)}}{2}$, ta chứng minh ${S_{k + 1}} = \dfrac{{\left( {k + 1} \right)\left( {3k + 2} \right)}}{2}$.

Thật vậy,

${S_{k + 1}} = {S_k} + 3\left( {k + 1} \right) - 2$ $= \dfrac{{k\left( {3k - 1} \right)}}{2} + 3k + 1$ $= \dfrac{{3{k^2} - k + 6k + 2}}{2}$ $= \dfrac{{3{k^2} + 5k + 2}}{2} = \dfrac{{\left( {k + 1} \right)\left( {3k + 2} \right)}}{2}$

Do đó ta được $1 + 4 + 7 + ... + \left( {3n - 2} \right) = \dfrac{{n\left( {3n - 1} \right)}}{2}$

Vậy ${u_{n + 1}} = 5 + \dfrac{{n\left( {3n - 1} \right)}}{2}$ hay ${u_n} = 5 + \dfrac{{\left( {n - 1} \right)\left( {3n - 4} \right)}}{2}$

Quảng cáo

LG b

Chứng minh $\left( {{u_n}} \right)$ là dãy số tăng

Phương pháp giải:

- Tính $u_2,u_3,...,u_{n+1}$

- Cộng vế với vế các đẳng thức, từ đó suy ra công thức tính $u_{n+1}$ theo $n$.

- Xét hiệu ${u_{n + 1}} - {u_n}$ và suy ra kết luận.

Lời giải chi tiết:

Xét hiệu ${u_{n + 1}} - {u_n}$ $= 5 + \dfrac{{n\left( {3n - 1} \right)}}{2} - 5 - \dfrac{{\left( {n - 1} \right)\left( {3n - 4} \right)}}{2}$ $= \dfrac{{3{n^2} - n - 3{n^2} + 3n + 4n - 4}}{2}$ $= \dfrac{{6n - 4}}{2} > 0,\forall n$.

Vậy dãy số đã cho tăng.

HocTot.Nam.Name.Vn