Bài 3.1 phần bài tập bổ sung trang 114 SBT toán 9 tập 2

Đề bài

Cho tam giác đều $ACB$ và $ACD,$ cạnh $a.$ Lần lượt lấy $B$ và $D$ làm tâm vẽ hai đường tròn bán kính $a.$ Kẻ các đường kính $ABE$ và $ADF.$ Trên cung nhỏ $CE$ của đường tròn tâm $B$ lấy điểm $M$ (không trùng với $E$ và $C$). Đường thẳng $CM$ cắt đường tròn tâm $D$ tại điểm thứ hai là $N.$ Hai đường thẳng $EM$ và $NF$ cắt nhau tại điểm $T.$ Gọi $H$ là giao điểm của $AT$ và $MN.$ Chứng minh:

$a)$ $MNT$ là tam giác đều.

$b)$ $AT = 4AH.$

Lời giải chi tiết

$a)$ Trong đường tròn $(B)$ ta có: 

$\widehat {AMC} = \displaystyle {1 \over 2}\widehat {ABC}$ (hệ quả góc nội tiếp) mà $\widehat {ABC} = 60^\circ$ (vì $∆ABC$ đều)

$\Rightarrow \widehat {AMC} = 30^\circ$

$\widehat {AME} = 90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn $(B)$)

$\Rightarrow \widehat {AMT} = 90^\circ$

$\widehat {TMN} = \widehat {AMT} - \widehat {AMC}$$= 90^\circ  - 30^\circ  = 60^\circ$

Trong đường tròn $(D)$ ta có:

$\widehat {ANC} =\displaystyle{1 \over 2}\widehat {ADC}$ (Hệ quả góc nội tiếp) mà $\widehat {ADC} = 60^\circ$ (vì $∆ADC$ đều) $\Rightarrow \widehat {ANC} = 30^\circ$

$\widehat {ANF} = 90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn $(D)$)

$\Rightarrow \widehat {ANC} + \widehat {CNF} = 90^\circ$

$\Rightarrow \widehat {CNF} = 90^\circ  - \widehat {ANC}$$= 90^\circ  - 30^\circ  = 60^\circ$ hay $\widehat {MNT} = 60^\circ$

Vậy $∆TMN$ đều.

$b)$ $\widehat {AMC} = \widehat {ANC} = 30^\circ$ (theo câu a)

$\Rightarrow \Delta AMN$ cân tại $A$ $\Rightarrow  AM = AN$ nên $A$ nằm trên đường trung trực $MN$

Vì $∆TMN$ đều $\Rightarrow TM = TN$ nên $T$ nằm trên đường trung trực $MN$

Suy ra $AT$ là đường trung trực của $MN$ nên $AT ⊥ MN$

$∆AHM$ có $\widehat {AHM} = 90^\circ$

$AM =\displaystyle{{AH} \over {\sin M}} = {{AH} \over {\sin 30^\circ }}$$=\displaystyle {{AH} \over {\displaystyle{1 \over 2}}} = 2AH$     $(1)$

Vì  $∆TMN$ đều có $TH ⊥ MN$ nên $TH$ cũng là đường phân giác của $\widehat T$ nên $\widehat {MTA} = 30^\circ$

$∆AMT$ có $\widehat {AMT} = 90^\circ$

$AT = \displaystyle{{AM} \over {\sin \widehat {MTA}}} = {\displaystyle{AM} \over {\displaystyle{1 \over 2}}} = 2AM$$\;  (2)$

Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra: $AT =2AM=2.2AH= 4AH$

Vậy $AT=4AH.$

HocTot.Nam.Name.Vn