Bài 3.2 phần bài tập bổ sung trang 115 SBT toán 9 tập 2

Đề bài

Cho đường tròn tâm $O$ bán kính $R$ và điểm $M$ ở ngoài đường tròn đó. Qua điểm $M$ kẻ hai tiếp tuyến $MA,$ $MB$ và cát tuyến $MCD$ với đường tròn $(O),$ trong đó điểm $C$ ở giữa hai điểm $M, D.$ Đường thẳng qua điểm $C$ và vuông góc với $OA$ cắt $AB$ tại $H.$ Gọi $I$ là trung điểm của dây $CD.$ Chứng minh $HI$ song song với $AD.$

Lời giải chi tiết

Xét đường tròn $(O)$ có $MA ⊥ OA$ (tính chất tiếp tuyến)

$\Rightarrow \widehat {MAO} = 90^\circ$

$MB ⊥ OB$ (tính chất tiếp tuyến)

$\Rightarrow \widehat {MBO} = 90^\circ$

Lại có I là trung điểm dây CD (gt) nên $IC = ID$

$\Rightarrow OI ⊥ CD$ (đường kính đi qua điểm chính giữa của dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây đó)

$\Rightarrow \widehat {MIO} = 90^\circ$

Từ đó: $A, B, I$ nhìn $MO$ cố định dưới một góc bằng $90^\circ$ nên $A, B, I$ nằm trên đường tròn bán kính $MO.$

$\Rightarrow \widehat {AMI} = \widehat {ABI}$ (Hai góc nội tiếp cùng chắn cung nhỏ $AOI$)

 Lại có  $CH ⊥ {AO}$$\;\; (gt)$ mà $MA ⊥ OA$ (chứng minh trên)

Suy ra: $CH // MA$

Do đó: $\widehat {AMI} = \widehat {HCI}$ (hai góc đồng vị)

Suy ra: $\widehat {HCI} = \widehat {ABI}$ $(=\widehat {AMI})$ hay $\widehat {HCI} = \widehat {HBI}$

Do đó $B$ và $C$ cùng nằm trên một nửa mặt phẳng bờ chứa đường $HI$ tạo với $HI$ một góc bằng nhau nên tứ giác $BCHI$ nội tiếp.

$\Rightarrow \widehat {CBH} = \widehat {CIH}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung nhỏ $\overparen{CH}$) hay $\widehat {CBA} = \widehat {CIH}$$\;         (1)$

Trong đường tròn $(O)$ ta có:

$\widehat {CBA} = \widehat {CDA}$ ($2$ góc nội tiếp cùng chắn cung nhỏ $\overparen{AC})$     $(2)$

Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra: $\widehat {CIH} = \widehat {CDA}$ nên $HI // AD$ (vì có cặp góc ở vị trí đồng vị bằng nhau)

(Trường hợp cát tuyến đi qua tâm thì ngũ giác $MAOIB$ suy biến thành tứ giác $MAOB$ chứng minh tương tự ta có $HO // AD$).

HocTot.Nam.Name.Vn