Giải bài 3 trang 89 SGK Toán 8 – Cánh diều

Đề bài

Cho hai hình chữ nhật ABCD và A'B'C'D' có $\frac{{A'B'}}{{B'C'}} = \frac{{AB}}{{BC}}$. Trên các tia AB, AC, AD ta lần lượt lấy các điểm B'', C'', D'' sao cho $\frac{{AB''}}{{AB}} = \frac{{AC''}}{{AC}} = \frac{{AD''}}{{AD}} = \frac{{B'C'}}{{BC}}$. Chứng minh:

a) Hình chữ nhật AB''C''D'' đồng dạng phối cảnh với hình chữ nhật ABCD;

b) AB'' = A'B', B''C'' = B'C';

c) Hai hình chữ nhật ABCD và A'B'C'D' là đồng dạng

Lời giải chi tiết

a) Vì $\frac{{AB''}}{{AB}} = \frac{{AC''}}{{AC}} = \frac{{AD''}}{{AD}}$ nên hình chữ nhật AB”C”D” đồng dạng phối cảnh với hình chữ nhật ABCD.

b) Ta có: $\frac{{A'B'}}{{B'C'}} = \frac{{AB}}{{BC}} \Rightarrow \frac{{A'B'}}{{AB}} = \frac{{B'C'}}{{BC}}$

Mà $\frac{{AB''}}{{AB}} = \frac{{B'C'}}{{BC}} \Rightarrow A'B' = AB''$

Ta có hình chữ nhật AB”C”D” đồng dạng phối cảnh với hình chữ nhật ABCD

$\Rightarrow \frac{{B''C''}}{{BC}} = \frac{{AB''}}{{AB}}$

Mà $\frac{{AB''}}{{AB}} = \frac{{B'C'}}{{BC}} \Rightarrow \frac{{B''C''}}{{BC}} = \frac{{B'C'}}{{BC}} \Rightarrow B''C'' = B'C'$

c) Hai hình chữ nhật AB"C"D" và A'B'C'D' có:

A'B' = AB" và B'C' = B"C" nên AB"C"D" và A'B'C'D' bằng nhau.

Mà hai hình chữ nhật AB"C"D" đồng dạng phối cảnh với hình chữ nhật ABCD.

Suy ra hai hình chữ nhật ABCD và A'B'C'D' là hai hình đồng dạng (đpcm).’D’.