Bài 2.95 trang 136 SBT giải tích 12

Đề bài

Tìm \(\displaystyle  x\) biết \(\displaystyle  {2^x} + {3^x} = {5^x}\).

A. \(\displaystyle  x = 0\)                         B. \(\displaystyle  x = 1\)

C. \(\displaystyle  x =  - 1\)                      D. \(\displaystyle  x = 2\)

Lời giải chi tiết

Chia cả hai vế cho \(\displaystyle  {5^x} > 0\) ta được \(\displaystyle  {\left( {\frac{2}{5}} \right)^x} + {\left( {\frac{3}{5}} \right)^x} = 1\)

Xét hàm \(\displaystyle  f\left( x \right) = {\left( {\frac{2}{5}} \right)^x} + {\left( {\frac{3}{5}} \right)^x}\) có \(\displaystyle  f'\left( x \right) = {\left( {\frac{2}{5}} \right)^x}\ln \frac{2}{5} + {\left( {\frac{3}{5}} \right)^x}\ln \frac{3}{5} < 0\) với mọi \(\displaystyle  x\) nên hàm số nghịch biến trên \(\displaystyle  \mathbb{R}\).

Mà \(\displaystyle  f\left( 1 \right) = 1\) nên phương trình có nghiệm duy nhất \(\displaystyle  x = 1\).

Chọn B.

HocTot.Nam.Name.Vn