Bài 26 trang 54 SBT toán 9 tập 2

Đề bài

Vì sao khi phương trình $a{x^2} + bx + c = 0$ có các hệ số $a$ và $c$ trái dấu thì nó có nghiệm?

Áp dụng. Không tính $∆$, hãy giải thích vì sao mỗi phương trình sau có nghiệm:

a) $3{x^2} - x - 8 = 0$

b) $2004{x^2} + 2x - 1185\sqrt 5  = 0$

c) $3\sqrt 2 {x^2} + \left( {\sqrt 3  - \sqrt 2 } \right)x + \sqrt 2  - \sqrt 3$$\,= 0$

d) $2010{x^2} + 5x - {m^2} = 0$.

Lời giải chi tiết

Phương trình $a{x^2} + bx + c = 0$

$a$ và $c$ trái dấu $\Leftrightarrow  ac < 0$ 

$\Leftrightarrow - ac > 0  \Leftrightarrow  - 4ac > 0$

$\Delta  = {b^2} - 4ac$ 

Ta có ${b^2} \ge 0$; $- 4ac > 0$ $\Leftrightarrow {b^2} - 4ac > 0$

$\Rightarrow \Delta  = {b^2} - 4ac > 0$, phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Áp dụng:

a) $3{x^2} - x - 8 = 0$

Có $a = 3; c = -8 ⇒ ac < 0$. Phương trình có hai nghiệm phân biệt.

b) $2004{x^2} + 2x - 1185\sqrt 5  = 0$

Có $a = 2004; c =  - 1185\sqrt 5$ $⇒ ac < 0$. Phương trình có hai nghiệm phân biệt.

c) $3\sqrt 2 {x^2} + \left( {\sqrt 3  - \sqrt 2 } \right)x + \sqrt 2  - \sqrt 3$$\,= 0$

Có $a = 3\sqrt 2  > 0;c = \sqrt 2  - \sqrt 3  < 0$ (vì $\sqrt 2  < \sqrt 3$)

$⇒ ac < 0$, phương trình có hai nghiệm phân biệt.

d) $2010{x^2} + 5x - {m^2} = 0$

- Nếu $m = 0$ phương trình có dạng $2010{x^2} + 5x = 0$ 

$\Leftrightarrow 5x\left( {402x + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = - \dfrac{1}{{402}} \end{array} \right.$

Hay phương trình có $2$ nghiệm là $x=0$ và $x = \dfrac{{ - 1}}{{402}}$.

- Nếu $m \ne 0 \Rightarrow {m^2} > 0 \Rightarrow  - {m^2} < 0$

$a = 2010 > 0;c =  - {m^2} < 0$ $\Rightarrow ac < 0.$

Phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Vậy với mọi $m ∈\mathbb R$ thì phương trình $2010{x^2} + 5x - {m^2} = 0$ luôn có hai nghiệm phân biệt. 

HocTot.Nam.Name.Vn