Bài 2.38 trang 81 SBT hình học 11

Đề bài

Cho tứ diện $ABCD$ và điểm $M$ nằm trong tam giác $BCD$.

a) Dựng đường thẳng qua $M$ song song với hai mặt phẳng $(ABC)$ và $(ABD)$. Giả sử đường thẳng này cắt mặt phẳng $(ACD)$ tại $B’$.

Chứng minh rằng $AB’$, $BM$ và $CD$ đồng quy tại một điểm.

b) Chứng minh $\dfrac{MB'}{BA}= \dfrac{dt\left( {\Delta MC{\rm{D}}} \right)}{dt\left( {\Delta BC{\rm{D}}} \right)}$.

c) Đường thẳng song song với hai mặt phẳng $(ACB)$ và $(ACD)$ kẻ từ $M$ cắt $(ABD)$ tại $C’$ và đường thẳng song song với hai mặt phẳng $(ADC)$ và $ADB)$ kẻ từ $M$ cắt $(ABC)$ tại $D’$.

Chứng minh rằng $\dfrac{MB'}{BA} + \dfrac{MC'}{CA} + \dfrac{M{\rm{D}}'}{DA} = 1$ .

Lời giải chi tiết

a) Ta có:

$\left\{ \begin{array}{l}MB'\parallel (ABC )\\MB'\parallel (ABD)\\(ABC) \cap (ABD)=AB\end{array} \right.$

$\Rightarrow MB'\parallel AB$

Do $MB'\parallel AB$ nên $MB’$ và $AB$ xác định một mặt phẳng. Gọi $MB\cup AB’\equiv I$.

Khi đó $I \in BM \Rightarrow I \in \left( {BCD} \right)$

$I \in AB' \Rightarrow I \in \left( {ACD} \right)$ 

Nên $I \in \left( {BCD} \right) \cap \left( {ACD} \right) = CD$,

$I \in CD$

Vậy ba đường thẳng $AB’$, $BM$ và $CD$ đồng quy tại $I$.

b) $MB'\parallel AB \Rightarrow \dfrac{MB'}{AB} = \dfrac{IM}  {IB}$

Kẻ $MM' \bot CD$ và $BH \bot CD$

Ta có: $MM'\parallel BH \Rightarrow \dfrac{IM}{IB} = \dfrac{MM'}{BH}$

Mặt khác:

$\left\{ \begin{array}{l}dt(\Delta MCD)=\dfrac{1}{2}CD.MM'\\dt(\Delta BCD)=\dfrac{1}{2}CD.BH\end{array} \right.$

$\Rightarrow\dfrac {dt(\Delta MCD)}{dt(\Delta BCD)}=\dfrac{\dfrac{1}{2}CD.MM'}{\dfrac{1}{2}CD.BH}$

$=\dfrac{MM'}{BH}$

Do đó: $\dfrac{MB'} {AB} = \dfrac{IM}{IB}$

$= \dfrac{MM'}{BH}= \dfrac {dt(\Delta MCD)}{dt(\Delta BCD)}$.

Vậy $\dfrac{MB'}{AB} =\dfrac {dt(\Delta MCD)}{dt(\Delta BCD)}$.

c) Tương tự ta có:

$\dfrac{MC'}{CA} =\dfrac {dt(\Delta MBD)}{dt(\Delta BCD)}$

$\dfrac{MD'}{DA} =\dfrac {dt(\Delta MBC)}{dt(\Delta BCD)}$

Vậy: 

$\dfrac{MB'}{BA} + \dfrac{MC'}{CA} + \dfrac{M{\rm{D}}'}{DA}$

$=\dfrac {dt(\Delta MCD)}{dt(\Delta BCD)}+\dfrac {dt(\Delta MBD)}{dt(\Delta BCD)}+\dfrac {dt(\Delta MBC)}{dt(\Delta BCD)}$

$=\dfrac{dt(\Delta MCD)+dt(\Delta MBD)+dt(\Delta MBC)}{dt(\Delta BCD)}$

$=1$ .

Logiaihay.com