Bài 2.40 trang 81 SBT hình học 11

Đề bài

Cho hình hộp $ABCD.A’B’C’D’$. Gọi $M$ và $N$ lần lượt là trung điểm của hai cạnh bên $AA’$ và $CC’$. Một điểm $P$ nằm trên cạnh bên $DD’$.

a) Xác định giao điểm $Q$ của đường thẳng $BB’$ với mặt phẳng $(MNP)$.

b) Mặt phẳng $(MNP)$ cắt hình hộp theo một thiết diện. Thiết diện đó có tính chất gì?

c) Tìm giao tuyến của mặt phẳng $(MNP)$ với mặt phẳng $(ABCD)$ của hình hộp.

Lời giải chi tiết

a) Ta có $(AA’, DD’)\parallel (BB’, CC’)$

$(MNP)\cap (AA’, DD’)=MP$

Suy ra giao tuyến của $(MNP)$ và $(BB’, CC’)$ song song với $MP$.

Ta có $N\in (MNP)\cap (BB',CC')$

$\Rightarrow (MNP)\cap (BB',CC')=Nx$,

$Nx\parallel MP$.

$\Rightarrow (MNP)\cap (BB',CC')$

$=Nx\cap BB'=Q$

b) Ta có

$(MNP)\cap AA'$, $BB'$, $CC'$, $DD'$ lần lượt tại $M$, $P$, $N$, $Q$.

$\Rightarrow (MNP)$ cắt hình hộp theo thiết diện $MPNQ$.

Ta có

$\left\{ \begin{array}{l} (AA’, BB’)\parallel (DD’, CC’)\\(MNP)\cap (AA’, BB’)=MQ\\(MNP)\cap (DD’, CC’)=PN\end{array} \right.$

$\Rightarrow MQ\parallel PN$

Mà theo câu a) $MP\parallel NQ$

$\Rightarrow$ tứ giác $MQNP$ là hình bình hành.

Vậy $(MNP)$ cắt hình hộp theo thiết diện $MPNQ$ là hình bình hành.

c) Th1: $P$ không phải là trung điểm của $DD'$

Gọi $H = PN \cap DC,K = MP \cap AD$. Ta có $d = HK$ là giao tuyến của mặt phẳng (MNP) với mặt phẳng $(ABCD)$ của hình hộp. Chú ý rằng giao điểm $E = AB \cap MQ$ cũng  nằm trên giao tuyến $d$ nói trên.

Th2: $P$ là trung điểm của $DD'$

Khi đó $MP\parallel AD, AD\subset (ABCD)$

$\Rightarrow MP\parallel (ABCD)$

Và $PN\parallel DC, DC\subset (ABCD)$

$\Rightarrow PN\parallel (ABCD)$

Mà $MP, PN\subset (MNP)$

$\Rightarrow (MNP)\parallel (ABCD)$ khi đó hai mặt phẳng không có giao tuyến.

HocTot.Nam.Name.Vn