Bài 21 trang 235 SBT đại số và giải tích 11

Đề bài

Cho hàm số $f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}{x^2}\sin \frac{1}{x}\,\text{ nếu }\,x \ne 0\\A\,\text{ nếu }\,x = 0\end{array} \right.$

Xác định A để f(x) liên tục tại x = 0. Với giá trị A tìm được, hàm số có đạo hàm tại x = 0 không?

Quảng cáo

Lời giải chi tiết

Ta có: $f\left( 0 \right) = A$

$\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {{x^2}\sin \frac{1}{x}} \right)\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {\frac{{{x^2}\sin \frac{1}{x}}}{{x.\frac{1}{x}}}} \right)\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {\frac{{{x^2}}}{x}.\frac{{\sin \frac{1}{x}}}{{\frac{1}{x}}}} \right)\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {x.\frac{{\sin \frac{1}{x}}}{{\frac{1}{x}}}} \right)\\ = \left( {\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} x} \right).\left( {\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin \frac{1}{x}}}{{\frac{1}{x}}}} \right)\\ = 0.1\\ = 0\end{array}$

Hàm số liên tục tại $x = 0$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right)\\ \Leftrightarrow A = 0\end{array}$

Vậy A = 0.

Khi đó, $f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}{x^2}\sin \frac{1}{x}\,\text{ nếu }\,x \ne 0\\0\,\text{ nếu }\,x = 0\end{array} \right.$

$\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{x^2}\sin \frac{1}{x} - 0}}{{x - 0}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{x^2}\sin \frac{1}{x}}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {x\sin \frac{1}{x}} \right)\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {\frac{{x\sin \frac{1}{x}}}{{x.\frac{1}{x}}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {\frac{{\sin \frac{1}{x}}}{{\frac{1}{x}}}} \right)\\ = 1\end{array}$

Vậy f(x) có đạo hàm tại x = 0 và $f'\left( 0 \right) = 1$.

HocTot.Nam.Name.Vn