Giải bài 20 trang 14 sách bài tập toán 12 - Cánh diều

Đề bài

Tìm điểm cực trị của mỗi hàm số sau:

a) \(y = {x^3} - 12{\rm{x}} + 8\);                  b) \(y = 2{{\rm{x}}^4} - 4{{\rm{x}}^2} - 1\);

c) \(y = \frac{{{x^2} - 2{\rm{x}} - 2}}{{x + 1}}\);          d) \(y =  - x + 1 - \frac{9}{{x - 2}}\)

Lời giải chi tiết

a) Hàm số có tập xác định là \(\mathbb{R}\).

Ta có: \({y^\prime } = 3{{\rm{x}}^2} - 12\); \(y' = 0\) khi \(x =  - 2,x = 2\).

Bảng biến thiên của hàm số:

Vậy hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 2\) và đạt cực đại tại \(x =  - 2\).

b) Hàm số có tập xác định là \(\mathbb{R}\).

Ta có: \({y^\prime } = 8{{\rm{x}}^3} - 8{\rm{x}}\)

\(y' = 0\) khi \(x = 0,x =  - 1,x = 1\).

Bảng biến thiên của hàm số:

Vậy hàm số đạt cực tiểu tại \(x =  - 1\) và \(x = 1\), đạt cực đại tại \(x = 0\).

c) Hàm số có tập xác định là \(\mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}{y^\prime } = \frac{{{{\left( {{x^2} - 2x - 2} \right)}^\prime }.\left( {x + 1} \right) - \left( {{x^2} - 2x - 2} \right).{{\left( {x + 1} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = \frac{{\left( {2{\rm{x}} - 2} \right)\left( {x + 1} \right) - \left( {{x^2} - 2x - 2} \right)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\\ &  = \frac{{{x^2} + 2{\rm{x}}}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = \frac{{x\left( {{\rm{x}} + 2} \right)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\end{array}\)

\(y' = 0\) khi \(x = 0,x =  - 2\).

Bảng biến thiên của hàm số:

Vậy hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 0\) và đạt cực đại tại \(x =  - 2\).

d) Hàm số có tập xác định là \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}\).

Ta có:

\({y^\prime } =  - 1 + \frac{9}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} = \frac{{ - {x^2} + 4{\rm{x}} - 4 + 9}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} = \frac{{ - {x^2} + 4{\rm{x}} + 5}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\)

\(y' = 0\) khi \(x = 5,x =  - 1\).

Bảng biến thiên của hàm số:

Vậy hàm số đạt cực tiểu tại \(x =  - 1\) và đạt cực đại tại \(x = 5\).