Bài 20 trang 105 SBT toán 9 tập 1

Đề bài

Cho tam giác vuông $ABC$. Từ một điểm M bất kì trong tam giác kẻ $MD, ME, MF$ lần lượt vuông góc với các cạnh $BC, AC, AB$. Chứng minh rằng: 

$B{D^2} + C{E^2} + A{F^2} = D{C^2} + E{A^2} + F{B^2}.$ 

 

Lời giải chi tiết

Nối $AM, CM, BM$ ta được hình dưới đây:

Áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông $BDM$, ta có: 

$B{M^2} = B{D^2} + D{M^2}$$\Rightarrow B{D^2} = B{M^2} - D{M^2}$   (1)

Áp dụng đinh lí Pytago vào tam giác vuông $CEM$, ta có:

$C{M^2} = C{E^2} + E{M^2}$$\Rightarrow C{E^2} = C{M^2} - E{M^2}$   (2)

Áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông $AFM$, ta có:

$A{M^2}{\rm{ = A}}{{\rm{F}}^2} + F{M^2}$$\Rightarrow A{F^2} = A{M^2} - F{M^2}$    (3)

Cộng từng vế của (1), (2) và (3) ta có:

$B{D^2} + C{E^2} + A{F^2}$

$= B{M^2} - D{M^2} + C{M^2}$$- E{M^2} + A{M^2} - F{M^2}$    (4)

Áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông $BFM$, ta có:

$B{M^2} = B{F^2} + F{M^2}$        (5)

Áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông $CDM$, ta có:

$C{M^2} = C{D^2} + D{M^2}$          (6)

Áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông $AEM$, ta có: 

$A{M^2} = A{E^2} + E{M^2}$            (7)

Thay (5), (6), (7) vào (4) ta có:

$\eqalign{ & B{D^2} + C{E^2}{\rm{ + A}}{{\rm{F}}^2} \cr  & = B{F^2} + F{M^2} - D{M^2} + C{D^2} \cr & + D{M^2}- E{M^2} + A{E^2} + E{M^2} - F{M^2} \cr  & = D{C^2} + E{A^2} + F{B^2} \cr}$

Vậy $B{D^2} + C{E^2}{\rm{ + A}}{{\rm{F}}^2} = D{C^2} + E{A^2} + F{B^2}.$ 

HocTot.Nam.Name.Vn