Giải bài 2 trang 103 SGK Toán 7 tập 2 - Cánh diều

Đề bài

Trong Hình 95, đường thẳng a là đường trung trực của hai đoạn thẳng AB và CD. Chứng minh:

 

a) AB // CD;

b) $\Delta MNC = \Delta MND;$

c) $\widehat {AMD} = \widehat {BMC}$;

d) $AD = BC,\widehat A = \widehat B$;

e) $\widehat {ADC} = \widehat {BCD}$.

Lời giải chi tiết

a) Ta có: đường thẳng a là đường trung trực của đoạn thẳng AB và CD nên $a \bot AB;a \bot CD$.

Suy ra: AB // CD.

b) Đường thẳng a là đường trung trực của đoạn thẳng AB và CD nên MN là đường trung trực của đoạn thẳng AB và CD. Suy ra: MD = MC.

Xét tam giác vuông MNC và tam giác vuông MND có: ND = NC; MD = MC.

Vậy $\Delta MNC = \Delta MND$(cạnh huyền – cạnh góc vuông).

c) $\Delta MNC = \Delta MND$nên $\widehat {CMN} = \widehat {DMN}$.

Mà $\widehat {AMN} = \widehat {BMN} = 90^\circ \Rightarrow \widehat {AMN} - \widehat {DMN} = \widehat {BMN} - \widehat {CMN}$.

Vậy $\widehat {AMD} = \widehat {BMC}$.

d) Xét hai tam giác AMD và BMC có:

     MA = MB;

     $\widehat {AMD} = \widehat {BMC}$;

     MD = MC.

Vậy $\Delta MAD = \Delta MBC$(c.g.c). Suy ra: $AD = BC,\widehat A = \widehat B$ (cặp cạnh và góc tương ứng).

e) $\Delta MAD = \Delta MBC$ nên $\widehat {ADM} = \widehat {BCM}$ (2 góc tương ứng).

$\Delta MNC = \Delta MND$ nên $\widehat {MCN} = \widehat {MDN}$ (2 góc tương ứng).

Vậy $\widehat {ADM} + \widehat {MDN} = \widehat {BCM} + \widehat {MCN}$ hay $\widehat {ADC} = \widehat {BCD}$.