Bài 1.57 trang 41 SBT đại số và giải tích 11

Đề bài

Nghiệm của phương trình $3(\cos x-\sin x)-\sin x\cos x=-3$ là

A. $\dfrac{\pi}{2}+k2\pi$ và $\pi+k2\pi$, $k\in\mathbb{Z}$

B. $\pi+k2\pi$, $k\in\mathbb{Z}$

C. $\dfrac{\pi}{4}+k2\pi, k\in\mathbb{Z}$

D. $\dfrac{\pi}{6}+k\pi, k\in\mathbb{Z}$.

Lời giải chi tiết

Đặt $t=\cos x-\sin x$

$\cos x-\sin x=\sqrt{2}\cos\left({x+\dfrac{\pi}{4}}\right)$

Do $-1\le\cos\left({x+\dfrac{\pi}{4}}\right)\le 1$ nên $-\sqrt{2}\le\sqrt{2}\cos\left({x+\dfrac{\pi}{4}}\right)\le \sqrt{2}$

Khi đó $-\sqrt{2}\le t\le \sqrt{2}$

Ta có $t^2={\cos}^2 x-2\cos x\sin x+{\sin}^2 x$

$=1-2\cos x\sin x$

Suy ra $\sin x\cos x=\dfrac{1-t^2}{2}$ thay vào phương trình ta được

$3t-\dfrac{1-t^2}{2}=-3$

$\Leftrightarrow 6t-1+t^2=-6$

$\Leftrightarrow t^2+6t+5=0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t=-5<-\sqrt{2}\text{(loại)}\\ t =-1\end{array} \right.$

Với $t=-1\Leftrightarrow \cos x-\sin x=-1$

$\Leftrightarrow \sqrt{2}\cos(\dfrac{\pi}{4}+x)=-1$

$\Leftrightarrow \cos(\dfrac{\pi}{4}+x)=\cos\dfrac{3\pi}{4}$

$\Leftrightarrow \dfrac{\pi}{4}+x=\pm\dfrac{3\pi}{4}+k2\pi,k\in\mathbb{Z}$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x =\dfrac{\pi}{2}+k2\pi,k\in\mathbb{Z}\\ x=-\pi+k2\pi,k\in\mathbb{Z}\end{array} \right.$

Vậy phương trình có nghiệm là $x=k2\pi,k\in\mathbb{Z}$ và $x =-\pi+k2\pi=\pi+l2\pi,k,l\in\mathbb{Z}$

Đáp án: A.

Cách trắc nghiệm:

Xét các phương án

Phương án A có hai khả năng, nên ta xét các phương án khác đơn giản hơn.

• Với x = kπ trong phương án B, khi k = 2 thì vế trái của phương trình đã cho bằng 3, nên phương án B bị loại.

• Với x = π/4 thì cosx – sinx = 0, sinx.cosx = 1/2 nên π/4 không phải là nghiệm. Do đó phương án C bị loại.

• Với x = π/6 thì vế trái của phương trình đã cho là:

$3\left( {\cos \frac{\pi }{6} - \sin \frac{\pi }{6}} \right) - \sin \frac{\pi }{6}\cos \frac{\pi }{6}$ $= \frac{{3\left( {\sqrt 3  - 1} \right)}}{2} - \frac{{\sqrt 3 }}{4} \ne  - 3$ nên phương án D bị loại.

 HocTot.Nam.Name.Vn