Bài 1.40 trang 38 SBT hình học 11

Đề bài

Gọi $A',B'$ và $C'$ tương ứng là ảnh của ba điểm$A,B$ và $C$ qua phép đồng dạng. Chứng minh rằng nếu $\overrightarrow {AB}  = p\overrightarrow {AC}$ thì $\overrightarrow {A'B'}  = p\overrightarrow {A'C'}$, trong đó $p$ là một số. Từ đó chứng minh rằng phép đồng dạng biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và nếu điểm $B$ nằm giữa hai điểm $A$ và $C$ thì điểm $B'$ nằm giữa hai điểm $A'$ và $C'$.

Quảng cáo

Lời giải chi tiết

Xét phép đồng dạng tỉ số $k$ biến các điểm $A,B,C$ thành $A',B',C'$.

Khi đó theo bài 1.39 ta có:

$A'C{'^2} = {k^2}A{C^2},A'B{'^2} = {k^2}A{B^2},$$\overrightarrow {A'C'} .\overrightarrow {A'B'}  = {k^2}\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB}$.

Ta có: ${\left( {\overrightarrow {A'B'}  - p\overrightarrow {A'C'} } \right)^2}$$= A'B{'^2} - 2p\overrightarrow {A'B'} .\overrightarrow {A'C'}  + {p^2}A'C{'^2}$

$= {k^2}\left( {A{B^2} - 2p\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  + {p^2}A{C^2}} \right)$$= {k^2}{\left( {\overrightarrow {AB}  - p\overrightarrow {AC} } \right)^2} = 0$

Từ đó suy ra $\overrightarrow {A'B'}  - p\overrightarrow {A'C'}  = \overrightarrow 0$

Giả sử ba điểm $A,B,C$ thẳng hàng và điểm $B$ nằm giữa hai điểm $A$ và $C$. Khi đó $\overrightarrow {AB}  = p\overrightarrow {AC}$, với $0 < p < 1$. Khi đó $\overrightarrow {A'B'}  = p\overrightarrow {A'C'}$, với $0 < p < 1$.

Do đó ba điểm $A',B',C'$ thẳng hàng và điểm $B'$ nằm giữa hai điểm $A'$ và $C'$.

HocTot.Nam.Name.Vn