Giải chuyên đề học tập Toán lớp 11 Kết nối tri thức

Giải bài 1.30 trang 33 Chuyên đề học tập Toán 11 Kết nối tri thức

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): (x – 1)2 + (y + 2)2 = 9.

Đề bài

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): (x – 1)² + (y + 2)² = 9. Phép vị tự tâm O(0; 0) với tỉ số k = – 2 biến đường tròn (C) thành đường tròn (C'). Viết phương trình đường tròn (C').

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Tìm ảnh của tâm qua phép vị tự bằng cách: Nếu \({V_{(I,k)}}{\rm{[}}M(x,y){\rm{]}} = M'(x',y')\). Khi đó, \(\left\{ \begin{array}{l}x' - a = k(x - a)\\y' - b = k(y - b)\end{array} \right.\) với \(I(a;b)\)

Lời giải chi tiết

Ta có \(\left( C \right):{\left( {x-1} \right)^2}\; + {\rm{ }}{\left( {y + 2} \right)^2}\; = 9 \Leftrightarrow {\left( {x-1} \right)^2}\; + {\rm{ }}{\left[ {y-\left( {-2} \right)} \right]^2}\; = {3^2}.\)

Suy ra đường tròn (C) có tâm I(1; – 2) và bán kính R = 3.

Gọi I' và R' lần lượt là tâm và bán kính của đường tròn (C'). Vì (C') là ảnh của (C) qua phép vị tự tâm O(0; 0) với tỉ số k = – 2 nên I' là ảnh của I qua phép vị tự tâm O(0; 0) với tỉ số k = – 2 và \(R' = \left| {-2} \right|.R = 2{\rm{ }}.3 = 6.\)

Vì I' là ảnh của I qua phép vị tự V_{(O, – 2)} nên \(\overrightarrow {OI'} = - 2\overrightarrow {OI} \)

Suy ra \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_{I'}} = - 2{x_I} = - 2.1 = - 2}\\{{y_{I'}} = - 2{y_I} = - 2.\left( { - 2} \right) = 4}\end{array}} \right.\) nên I'(– 2; 4).

Vậy phương trình đường tròn (C') là

\({\left[ {x-\left( {-2} \right)} \right]^2}\; + {\rm{ }}{\left( {y-4} \right)^2}\; = {6^2}\; \Leftrightarrow {\left( {x + 2} \right)^2}\; + {\left( {y-4} \right)^2}\; = 36.\)