Giải bài 13 trang 92 sách bài tập toán 8 - Cánh diều

Đề bài

Cho hình thang cân \(ABCD\) có \(AB//CD,AB = 3mc,CD = 6cm,AD = 2.5cm\). Gọi \(M,N\) lần lượt là hình chiếu của \(A,B\) trên đường thẳng \(CD\). Tính độ dài các đoạn thẳng \(DM,DN,AM\).

Lời giải chi tiết

Xét tam giác ADM và tam giác ACM có:

AD = BC (vì ABCD là hình thang cân)

\(\widehat{D} = \widehat{C}\) (vì ABCD là hình thang cân)

Suy ra \(\Delta ADM = \Delta BCN\) (cạnh huyền – góc nhọn)

Do đó \(AM = BN;DM = CN\)

Xét tam giác ABN và tam giác NMA có:

AN chung

\(\widehat{BAN} = \widehat{MNA}\) (hai góc so le trong)

Suy ra \(\Delta ABN = \Delta NMA\) (cạnh huyền – góc nhọn)

nên \(AB = NM\). Do đó, \(NM = 3cm\)

Ta có: \(DM + NM + CN = CD\) và \(DM = CN\) nên \(2DM + 3 = 6\)

Suy ra \(DM = 1,5\)

Mà \(DN = DM + NM\), suy ra \(DN = 4,5cm\)

Trong tam giác \(ADM\) vuông tại \(M\), ta có:

\(A{D^2} = A{M^2} + D{M^2}\)

Suy ra \(A{M^2} = A{D^2} - D{M^2} = 4\).

Vậy \(AM = \sqrt 4  = 2\left( {cm} \right)\).