Giải chuyên đề học tập Toán lớp 11 Chân trời sáng tạo

Giải bài 13 trang 41 Chuyên đề học tập Toán 11 Chân trời sáng tạo

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d:{rm{ }}x{rm{ }} + {rm{ }}6y{rm{ }}-{rm{ }}5{rm{ }} = {rm{ }}0.)

Đề bài

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng \(d:{\rm{ }}x{\rm{ }} + {\rm{ }}6y{\rm{ }}-{\rm{ }}5{\rm{ }} = {\rm{ }}0.\)

a) Tìm ảnh của đường thẳng d qua phép đối xứng tâm O.

b) Tìm ảnh của đường thẳng d qua phép đối xứng tâm M(4; 6).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Cho điểm O, phép biến hình biến điểm O thành chính nó và biến mỗi điểm \(M \ne O\) thành điểm M’ sao cho O là trung điểm của MM’ được gọi là phép đối xứn tâm O, kí hiệu \({Đ_O}\). Điểm O được gọi là tâm đối xứng.

Nếu \(M'{\rm{ }} = {\rm{ }}{Đ_I}\left( M \right)\) thì \(\left\{ \begin{array}{l}{x_{M'}} + {x_M} = 2{x_I}\\{y_{M'}} + {y_M} = 2{y_I}\end{array} \right.\) (I là trung điểm của MM')

Lời giải chi tiết

a) Chọn điểm \(A\left( {-1;{\rm{ }}1} \right) \in d.\)

Ta đặt \(A'{\rm{ }} = {\rm{ }}{Đ_O}\left( A \right).\)

Suy ra O là trung điểm của AA’.

Do đó \(\left\{ \begin{array}{l}{x_{A'}} = 2{x_O} - {x_A} = 2.0 + 1 = 1\\{y_{A'}} = 2{y_O} - {y_A} = 2.0 - 1 = - 1\end{array} \right.\)

Vì vậy A’(1; –1).

Đường thẳng d có vectơ pháp tuyến \(\vec n = \left( {1;6} \right)\)

Gọi d’ là ảnh của d qua suy ra d’ là đường thẳng song song hoặc trùng với d nên d’ nhận \(\vec n = \left( {1;6} \right)\) làm vectơ pháp tuyến.

Vậy đường thẳng d’ đi qua A’(1; –1) và nhận \(\vec n = \left( {1;6} \right)\) làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình là:

\(1.\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}1} \right){\rm{ }} + {\rm{ }}6.\left( {y{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}0 \Leftrightarrow {\rm{ }}x{\rm{ }} + {\rm{ }}6y{\rm{ }} + {\rm{ }}5{\rm{ }} = {\rm{ }}0.\)

b) Ta đặt \(A'' = {\rm{ }}{Đ_M}\left( A \right).\)

Suy ra M là trung điểm AA”.

Do đó \(\left\{ \begin{array}{l}{x_{A''}} = 2{x_M} - {x_A} = 2.4 + 1 = 9\\{y_{A''}} = 2{y_M} - {y_A} = 2.6 - 1 = 11\end{array} \right.\)

Vì vậy A”(9; 11).

Gọi d” là ảnh của d qua \({Đ_M},\;\) suy ra d’’ là đường thẳng song song hoặc trùng với d nên d’’ nhận \(\vec n = \left( {1;6} \right)\) làm vectơ pháp tuyến.

Vậy đường thẳng d’’ đi qua A”(9; 11) và nhận \(\vec n = \left( {1;6} \right)\) làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình là:

\(1.\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}9} \right){\rm{ }} + {\rm{ }}6.\left( {y{\rm{ }}-{\rm{ }}11} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}0 \Leftrightarrow x{\rm{ }} + {\rm{ }}6y{\rm{ }}-{\rm{ }}75{\rm{ }} = {\rm{ }}0.\)