Giải bài 1.18 trang 22 Chuyên đề học tập Toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Một cửa hàng cho thuê xe ô tô tự lái. Chi phí cửa hàng phải tiêu tốn cho một chiếc xe là a triệu đồng/ngày. Mỗi chiếc xe được cho thuê thì cửa hàng thu về được 1 triệu đồng/ngày. Biết rằng nhu cầu cho thuê trong một ngày là một biến ngẫu nhiên rời rạc X có bảng phân bố xác suất như sau:

a) Giả sử cửa hàng có 3 chiếc ô tô cho thuê. Gọi Y là số tiền cửa hàng thu được trong 1 ngày. Lập bảng phân bố xác suất của Y. Hỏi trung bình một ngày của hàng thu được bao nhiêu tiền từ việc cho thuê xe?

b) Giả sử cửa hàng có 4 chiếc ô tô cho thuê. Gọi Z là số tiền cửa hàng thu được trong 1 ngày. Lập bảng phân bố xác suất của Z. Hỏi trung bình một ngày cửa hàng thu được bao nhiêu tiền từ việc cho thuê xe?

c) Với giá trị nào của a thì cửa hàng chỉ nên duy trì 3 xe ô tô cho thuê?

Lời giải chi tiết

a) Mỗi ngày cửa hàng phải bỏ ra chi phí là \(3a\) triệu đồng. Giả sử mỗi người đến thuê một chiếc xe

\(\begin{array}{l}P(X = 0) = P(Y =  - 3a) = 0,0608\\P(X = 1) = P(Y = 1 - 3a) = 0,1703\\P(X = 2) = P(Y = 2 - 3a) = 0,2384\end{array}\)

Cửa hàng có từ 3 hoặc 4 người đến thuê với xác suất là: 0,2225+0,308=0,5305

Mà cửa hàng chỉ có 3 chiếc xe cho thuê nên số tiền cửa hàng thu được là \(3 - 3a\) triệu đồng.

Bảng phân bố xác suất của Y là:

Số tiền trung bình cửa hàng thu được là:

\(E(Y) = 0,0608.( - 3a) + 0,1703.(1 - 3a) + 0,2384.(2 - 3a) + 0,5305(3 - 3a) = 2,2386 - 3a\) (triệu đồng)

b) Mỗi ngày cửa hàng phải bỏ ra chi phí là \(4a\) triệu đồng. Giả sử mỗi người đến thuê một chiếc xe

\(\begin{array}{l}P(X = 0) = P(Y =  - 4a) = 0,0608\\P(X = 1) = P(Y = 1 - 4a) = 0,1703\\P(X = 2) = P(Y = 2 - 4a) = 0,2384\\P(X = 3) = P(Y = 3 - 4a) = 0,2225\\P(X = 4) = P(Y = 4 - 4a) = 0,308\end{array}\)

Bảng phân bố xác suất của Z là:

Số tiền trung bình cửa hàng thu được là:

\(\begin{array}{l}E(Y) = 0,0608.( - 4a) + 0,1703.(1 - 4a) + 0,2384.(2 - 4a) + 0,225(3 - 4a) + 0,308(4 - 4a)\\{\rm{        }} = 2,5466 - 4a\end{array}\)

(triệu đồng)

c) Cửa hàng chỉ nên duy trì 3 xe cho thuê nếu \(E(Y) > E(Z)\)

\(2,2386 - 3a > 2,5466 - 4a \Leftrightarrow a > 0,308\) (triệu đồng)