Bài 1.12 trang 9 SBT giải tích 12

Đề bài

Phương trình nào sau đây có nghiệm duy nhất trên \(\mathbb{R}\)?

A. \(3{\sin ^2}x - {\cos ^2}x + 5 = 0\)

B. \({x^2} - 5x + 6 = 0\)

C. \({x^5} + {x^3} - 7 = 0\)

D. \(3\tan x - 4 = 0\)

Lời giải chi tiết

Đáp án C vì: Xét hàm \(f\left( x \right) = {x^5} + {x^3} - 7\) có \(f'\left( x \right) = 5{x^4} + 3{x^2} = {x^2}\left( {5{x^2} + 3} \right)\).

\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 0\) và \(f'\left( x \right) \ge 0,\forall x \in \mathbb{R}\) nên hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

Mặt khác \(f\left( 0 \right) =  - 7 < 0,f\left( 2 \right) = 33 > 0\) nên \(f\left( 0 \right).f\left( 2 \right) < 0\).

Hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\left[ {0;2} \right]\) nên tồn tại \({x_0} \in \left( {0;2} \right)\) để \(f\left( {{x_0}} \right) = 0\) hay phương trình \(f\left( x \right) = 0\) có nghiệm duy nhất trên \(\mathbb{R}\).

Chọn C.

Chú ý:

Cách khác:

+) Phương trình \(3{\sin ^2}x - {\cos ^2}x + 5 = 0\) \( \Leftrightarrow 3{\sin ^2}x - \left( {1 - {{\sin }^2}x} \right) + 5 = 0\) \( \Leftrightarrow 4{\sin ^2}x + 4 = 0\) \( \Leftrightarrow 4\left( {{{\sin }^2}x + 1} \right) = 0\) (vô nghiệm vì \(0 \le {\sin ^2}x \le 1\)) nên loại A.

+) Các phương trình \({x^2} - 5x + 6 = 0\) và \(3\tan x - 4 = 0\) có nhiều hơn một nghiệm nên loại B, D.

Chọn C.

HocTot.Nam.Name.Vn