Giải bài 106 trang 44 sách bài tập toán 12 - Cánh diều

Đề bài

Tìm tiệm cận đứng, tiệm cận ngang và tiệm cận xiên (nếu có) của đồ thị mỗi hàm số sau:

a) \(y = \frac{{ - 3{\rm{x}} + 2}}{{{x^3} + 1}}\);                                          

b) \(y = \frac{{{x^2} - 1}}{{2{\rm{x}} + 1}}\);  

c) \(y = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}\).

Lời giải chi tiết

a) Hàm số có tập xác định là \(\mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}\).

Ta có:

• \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ - }} \frac{{ - 3{\rm{x}} + 2}}{{{x^3} + 1}} =  - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ + }} \frac{{ - 3{\rm{x}} + 2}}{{{x^3} + 1}} =  + \infty \)

Vậy \(x =  - 1\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.

• \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{ - 3{\rm{x}} + 2}}{{{x^3} + 1}} = 0;\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{ - 3{\rm{x}} + 2}}{{{x^3} + 1}} = 0\)

Vậy \(y = 0\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho.

b) Hàm số có tập xác định là \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\).

Ta có:

• \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {{\frac{1}{2}}^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {{\frac{1}{2}}^ - }} \frac{{{x^2} - 1}}{{2{\rm{x}} + 1}} =  + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {{\frac{1}{2}}^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {{\frac{1}{2}}^ + }} \frac{{{x^2} - 1}}{{2{\rm{x}} + 1}} =  - \infty \)

Vậy \({\rm{x}} =  - \frac{1}{2}\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.

• \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{{x^2} - 1}}{{2{\rm{x}} + 1}} =  + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{{x^2} - 1}}{{2{\rm{x}} + 1}} =  - \infty \)

Vậy hàm số không có tiệm cận ngang.

• \(a = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{f\left( x \right)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{{x^2} - 1}}{{x\left( {2{\rm{x}} + 1} \right)}} = \frac{1}{2}\) và

\(b = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left[ {f\left( x \right) - \frac{1}{2}x} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left[ {\frac{{{x^2} - 1}}{{2{\rm{x}} + 1}} - \frac{1}{2}x} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{ - x - 2}}{{2\left( {2{\rm{x}} + 1} \right)}} =  - \frac{1}{4}\)

Vậy đường thẳng \(y = \frac{1}{2}x - \frac{1}{4}\) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho.

c) Hàm số có tập xác định là \(\mathbb{R}\).

Do đó đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng.

Ta có:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} = 1;\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} =  - 1\)

Vậy \(y = 1\) và \(y =  - 1\) là các tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho.