Giải bài 10 trang 36 sách bài tập toán 8 - Cánh diều

Đề bài

Rút gọn rồi tính giá trị biểu thức:

a) $A = x + 1 - \frac{{{x^2} - 4}}{{x - 1}}$ tại $x =  - 4$

b) $B = \frac{1}{{5 - x}} - \frac{{{x^2} + 5x}}{{{x^2} - 25}}$ tại $x = 99$

c) $C = \frac{1}{{x - 1}} - \frac{{2x}}{{{x^3} - {x^2} + x - 1}}$ tại $x = 0,7$

d) $D = \frac{1}{{x\left( {x + 1} \right)}} + \frac{1}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)}} + \frac{1}{{x + 2}}$ tại $\frac{1}{{23}}$

Lời giải chi tiết

a) Điều kiện xác định của biểu thức $A$ là $x \ne 1$.

Ta có:

$\begin{array}{l}A = x + 1 - \frac{{{x^2} - 4}}{{x - 1}} = \frac{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}{{x - 1}} - \frac{{{x^2} - 4}}{{x - 1}} \\= \frac{{{x^2} - 1 - \left( {{x^2} - 4} \right)}}{{x - 1}}= \frac{{{x^2} - 1 - {x^2} + 4}}{{x - 1}} = \frac{3}{{x - 1}}\end{array}$

Vậy giá trị của biểu thức $A$ tại $x =  - 4$ là: $\frac{3}{{ - 4 - 1}} = \frac{{ - 3}}{5}$

b) Điều kiện xác định của biểu thức $B$ là $x \ne  \pm 5$

Ta có:

$\begin{array}{l}B = \frac{1}{{5 - x}} - \frac{{{x^2} + 5x}}{{{x^2} - 25}} = \frac{{ -1}}{{x - 5}} - \frac{x(x +5)}{{\left( {x + 5} \right)\left( {x - 5} \right)}}\\ = \frac{{ -1}}{{x - 5}} - \frac{x}{x - 5}\\ = \frac{{ - 1 - x}}{{x - 5}}\end{array}$

Vậy giá trị của biểu thức $B$ tại $x = 99$ là: $\frac{{ - 1 - 99}}{{99 - 5}} = \frac{{ - 50}}{{47}}$

c) Ta có:

${x^3} - {x^2} + x - 1 = \left( {{x^3} - {x^2}} \right) + \left( {x - 1} \right) \\= {x^2}\left( {x - 1} \right) + \left( {x - 1} \right) = \left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + 1} \right)$

Điều kiện xác định của biểu thức $C$ là: $x \ne 1$

Suy ra

$\begin{array}{l}C = \frac{1}{{x - 1}} - \frac{{2x}}{{{x^3} - {x^2} + x - 1}} = \frac{1}{{x - 1}} - \frac{{2x}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + 1} \right)}}\\ = \frac{{{x^2} + 1}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + 1} \right)}} - \frac{{2x}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + 1} \right)}}\\ = \frac{{{x^2} + 1 - 2x}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + 1} \right)}} = \frac{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + 1} \right)}}\\ = \frac{{x - 1}}{{{x^2} + 1}}\end{array}$

Vậy giá trị của biểu thức $C$ tại $x = 0,7$ là:

$\frac{{0,7 - 1}}{{0,{7^2} + 1}} = \frac{{ - 30}}{{149}}$

d) Ta sử dụng:

$\frac{1}{a(a + 1)} = \frac{(a + 1) - a}{a(a + 1)} = \frac{a + 1}{a(a + 1)} - \frac{a}{a(a + 1)} = \frac{1}{a} - \frac{1}{a + 1}$

Điều kiện xác định của biểu thức $D$ là: $x \ne 0;x \ne  - 1;x \ne  - 2$

Ta có:

$\begin{array}{l}D = \frac{1}{{x\left( {x + 1} \right)}} + \frac{1}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)}} + \frac{1}{{x + 2}}\\ = \left( {\frac{1}{x} - \frac{1}{{x + 1}}} \right) + \left( {\frac{1}{{x + 1}} - \frac{1}{{x + 2}}} \right) + \frac{1}{{x + 2}} \\ = {\frac{1}{x} - \frac{1}{{x + 1}}} + {\frac{1}{{x + 1}} - \frac{1}{{x + 2}}} + \frac{1}{{x + 2}} = \frac{1}{x}\end{array}$

Vậy giá trị của biểu thức $D$ tại $x = \frac{1}{{23}}$ là: $\frac{1}{{\frac{1}{{23}}}} = 23$