Đề thi, đề kiểm tra Toán lớp 9 - Chân trời sáng tạo

Đề thi học kì 1 Toán 9 - Đề số 5

Tải về

Làm đề thi

Phần I. Câu hỏi trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.

Đề bài

Phần I. Câu hỏi trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn

Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.

Câu 1 :

Phương trình $2x + y = 1$ kết hợp với phương trình nào dưới đây để được một hệ phương trình bậc nhất hai ẩn?

A

$2x + 3{y^2} = 0$.
B

$xy - x = 1$.
C

$3x + 2{y^3} = 1$.
D

$3x - y = 5$.

Câu 2 :

Điều kiện xác định của phương trình $\frac{{4x - 5}}{{x - 1}} = 2x + \frac{1}{{{x^2}}}$ là

A

Điều kiện xác định của phương trình $\frac{{4x - 5}}{{x - 1}} = 2x + \frac{1}{{{x^2}}}$ là
B

$x \ne - 1$ và $x \ne 0$.
C

$x \ne 1$.
D

$x \ne 0$.

Câu 3 :

Bất phương trình $ - x - 2 > 4$, phép biến đổi nào sau đây là đúng?

A

$x > 4 + 2$.
B

$x < 4 - 2$.
C

$x < - 4 - 2$.
D

$x < - 4 + 2$.

Câu 4 :

Cho số thực $a > 0$. Số nào sau đây là căn bậc hai số học của a?

A

$2\sqrt a $.
B

$\sqrt a $.
C

$\sqrt {2a} $.
D

$ - \sqrt a $.

Câu 5 :

Rút gọn biểu thức $\frac{2}{5}.\sqrt {25} - \frac{9}{2}.\sqrt {\frac{{16}}{{81}}} + \sqrt {169} $ ta được kết quả là

A

15.
B

14.
C

13.
D

12.

Câu 6 :

Thu gọn $\sqrt[3]{{125{a^3}}}$ ta được

A

$ - 5a$.
B

$25a$.
C

$ - 25{a^3}$.
D

$5a$.

Câu 7 :

Cho tam giác ABC vuông tại A có $AC = 5cm,\widehat B = 30^\circ $. Độ dài BC là

A

$5,5cm$.
B

$5cm$.
C

$10cm$.
D

$5\sqrt 2 cm$.

Câu 8 :

Cho đường tròn $\left( {O;3cm} \right)$ và hai điểm A, B sao cho $OA = OB = 3cm$. Khi đó

A

Điểm A nằm trong (O), điểm B nằm trên (O).
B

Điểm A và B đối xứng với nhau qua tâm O.
C

Điểm A và B đều nằm trên đường tròn (O).
D

$AB = 6cm$ là đường kính của đường tròn (O).

Câu 9 :

Cho đường tròn (O) có AB là đường kính. Lấy C là điểm thuộc cung cung AB biết $\widehat {AOC} = 130^\circ $. Số đo cung nhỏ $BC$ là:

A

$360^\circ $.
B

$230^\circ $.
C

$130^\circ $.
D

$50^\circ $.

Câu 10 :

Độ dài cung tròn $60^\circ $ của đường tròn đường kính 6dm là

A

$\pi \left( {dm} \right)$.
B

$2\pi \left( {dm} \right)$.
C

$36\pi \left( {dm} \right)$.
D

$12\pi \left( {dm} \right)$.

Câu 11 :

Cho hai đường tròn $\left( {O;20cm} \right)$ và $\left( {O';15cm} \right)$ cắt nhau. Khi đó

A

$OO' < 5cm$.
B

$5cm < OO' < 35cm$.
C

$OO' > 35cm$.
D

$OO' = 35cm$.

Câu 12 :

Cho hai tiếp tuyến PA và PB của đường tròn (O) (A, B là hai tiếp điểm). Biết $\widehat {APB} = 60^\circ $, khi đó $\widehat {APO}$ bằng

A

$120^\circ $.
B

$60^\circ $.
C

$20^\circ $.
D

$30^\circ $.

Phần II. Câu hỏi trắc nghiệm đúng sai

Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Câu 1 :

Cho biểu thức $A = \left( {\frac{1}{{\sqrt a + 1}} - \frac{1}{{\sqrt a + a}}} \right):\frac{{\sqrt a - 1}}{{2\sqrt a + a + 1}}$ $\left( {a > 0;a \ne 1} \right)$.

a) $A = \frac{{\sqrt a + 1}}{{\sqrt a }}$.

Đúng

Sai

b) Giá trị của A khi $a = 4$ là $\frac{3}{2}$.

Đúng

Sai

c) Khi $a \ge 1$ thì $\sqrt a .A \ge 2$.

Đúng

Sai

d) Có $0$ giá trị nguyên của $a$ để $A$ nguyên.

Đúng

Sai

Câu 2 :

Một trường trung học mua $878$ quyển vở bao gồm $x$ quyển vở loại thứ nhất và $y$ quyển vở loại thứ hai ($x,y \in \mathbb{N}$). Giá bán mỗi quyển vở loại thứ nhất và loại thứ hai lần lượt là $7500$ và $12600$ đồng. Biết tổng số tiền nhà trường đã dùng để mua $878$ quyển vở là $9073800$ đồng. Mỗi học sinh xuất sắc được thưởng $3$ quyển vở loại thứ nhất và $4$ quyển vở loại thứ hai. Mỗi học sinh giỏi được thưởng $2$ quyển vở loại thứ nhất và $2$ quyển vở loại thứ hai, các học sinh khác không được thưởng, tổng số học sinh giỏi và xuất sắc chiếm $20\% $ số học sinh toàn trường.

a) $x + y = 878$.

Đúng

Sai

b) $75x + 126y = 9073800$.

Đúng

Sai

c) $x = 391$, $y = 488$.

Đúng

Sai

d) Tổng số học sinh của trường là $749$.

Đúng

Sai

Câu 3 :

Một trường trung học dự định tổ chức chuyến tham quan học tập thực tế cho học sinh khối 9 tại một bảo tàng và công viên khoa học (Science Park) trong 1 ngày (trong ngày từ 7h00 đến 17h00). Tổng kinh phí nhà trường dự trù là 20 triệu đồng, bao gồm chi phí thuê xe đưa đón và bữa ăn cho học sinh. Gọi $x$ là số bạn có thể tham gia chuyến tham quan. (học sinh, $x > 0$)

• Giá thuê xe là 5 triệu đồng/ngày.

• Vé vào cổng mỗi học sinh là 30 000 đồng.

• Bữa ăn trưa cho mỗi học sinh có giá 50 000 đồng.

a) Chi phí cho mỗi học sinh là 80 000 đồng.

Đúng

Sai

b) Tổng chi phí nhà trường cần trả cho chuyến tham quan có $x$ bạn là $80\,000x$.

Đúng

Sai

c) $80\,000x + 5\,000\,000 \le 20\,000\,000$.

Đúng

Sai

d) Trường có thể tổ chức cho tối đa 188 học sinh tham gia chuyến tham quan này.

Đúng

Sai

Câu 4 :

Cho tam giác MNP có MN = 5cm, NP = 12cm, MP = 13cm. Vẽ đường tròn $\left( M;MN \right)$, đường thẳng MP cắt đường tròn tại hai điểm O và Q (Q nằm giữa O và P).

a) NP là tiếp tuyến của $\left( M;MN \right)$.

Đúng

Sai

b) $\widehat{NPM}\approx 30{}^\circ $.

Đúng

Sai

c) $\widehat{NOQ}\approx 34{}^\circ $.

Đúng

Sai

d) $\widehat{PNQ}\approx 35{}^\circ $.

Đúng

Sai

Phần III. Câu hỏi trắc nghiệm trả lời ngắn

Thí sinh trả lời câu hỏi từ câu 1 đến câu 6

Câu 1 :

Phương trình $x\left( {x - 5} \right) + 2\left( {x - 5} \right) = 0$ có tổng hai nghiệm bằng:

Đáp án:

Câu 2 :

Giá trị của biểu thức $\sqrt {\frac{3}{5}} - \sqrt {\frac{5}{3}} + \frac{{\sqrt {60} }}{{15}}$ có kết quả bằng:

Đáp án:

Câu 3 :

Tổng các giá trị của x để $\sqrt {{x^2} - 6x + 9} = 2$ là:

Đáp án:

Câu 4 :

Cho hai đường tròn $\left( {A;3cm} \right)$ và $\left( {B;5cm} \right)$ đựng nhau. Gọi M, N lần lượt là giao điểm của AB với $\left( {A;3cm} \right)$. Gọi C, D lần lượt là giao điểm của AB với $\left( {B;5cm} \right)$ sao cho C, M nằm cùng phía đối với A còn N, D nằm cùng phía đối với B. Tổng ND + CM là bao nhiêu cm?

Đáp án:

Câu 5 :

Một đầu của cần gạt nước được cố định tại điểm O. Khi đầu còn lại của cần gạt xoay $60^\circ $, nó sẽ quét được một vùng có diện tích bằng $\frac{8}{3}\pi \left( {{m^2}} \right)$.

Chiều dài của cần gạt nước là bao nhiêu m?

Đáp án:

Câu 6 :

Cho $\alpha $ là góc nhọn bất kì. Khi đó $C = {\sin ^6}\alpha + {\cos ^6}\alpha + 3{\sin ^2}\alpha .{\cos ^2}\alpha $ có giá trị bằng:

Đáp án:

Lời giải và đáp án

Phần I. Câu hỏi trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn

Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.

Câu 1 :

Phương trình $2x + y = 1$ kết hợp với phương trình nào dưới đây để được một hệ phương trình bậc nhất hai ẩn?

A

$2x + 3{y^2} = 0$.
B

$xy - x = 1$.
C

$3x + 2{y^3} = 1$.
D

$3x - y = 5$.

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn là hệ bao gồm hai phương trình bậc nhất hai ẩn.

Lời giải chi tiết :

Vì phương trình $3x - y = 5$ là phương trình bậc nhất hai ẩn nên kết hợp với phương trình $2x + y = 1$ ta được hệ phương trình bậc nhất hai ẩn $\left\{ \begin{array}{l}2x + y = 1\\3x - y = 5\end{array} \right.$.

Đáp án D

Câu 2 :

Điều kiện xác định của phương trình $\frac{{4x - 5}}{{x - 1}} = 2x + \frac{1}{{{x^2}}}$ là

A

Điều kiện xác định của phương trình $\frac{{4x - 5}}{{x - 1}} = 2x + \frac{1}{{{x^2}}}$ là
B

$x \ne - 1$ và $x \ne 0$.
C

$x \ne 1$.
D

$x \ne 0$.

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Điều kiện xác định của phương trình chứa ẩn ở mẫu là mẫu thức khác 0.

Lời giải chi tiết :

Điều kiện xác định của phương trình $\frac{{4x - 5}}{{x - 1}} = 2x + \frac{1}{{{x^2}}}$ là $x - 1 \ne 0$ và ${x^2} \ne 0$.

Suy ra $x \ne 1;x \ne 0$.

Đáp án A

Câu 3 :

Bất phương trình $ - x - 2 > 4$, phép biến đổi nào sau đây là đúng?

A

$x > 4 + 2$.
B

$x < 4 - 2$.
C

$x < - 4 - 2$.
D

$x < - 4 + 2$.

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Sử dụng tính chất của bất đẳng thức để biến đổi bất phương trình.

Lời giải chi tiết :

Ta có:

$\begin{array}{l} - x - 2 > 4\\ - x > 4 + 2\\x < - 4 - 2\end{array}$

Đáp án C

Câu 4 :

Cho số thực $a > 0$. Số nào sau đây là căn bậc hai số học của a?

A

$2\sqrt a $.
B

$\sqrt a $.
C

$\sqrt {2a} $.
D

$ - \sqrt a $.

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Sử dụng khái niệm căn bậc hai số học của một số.

Lời giải chi tiết :

Căn bậc hai số học của một số thực a > 0 là $\sqrt a $.

Đáp án B

Câu 5 :

Rút gọn biểu thức $\frac{2}{5}.\sqrt {25} - \frac{9}{2}.\sqrt {\frac{{16}}{{81}}} + \sqrt {169} $ ta được kết quả là

A

15.
B

14.
C

13.
D

12.

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Sử dụng kiến thức về căn bậc hai để rút gọn.

Lời giải chi tiết :

$\begin{array}{l}\frac{2}{5}.\sqrt {25} - \frac{9}{2}.\sqrt {\frac{{16}}{{81}}} + \sqrt {169} \\ = \frac{2}{5}.5 - \frac{9}{2}.\frac{4}{9} + 13\\ = 2 - 2 + 13\\ = 13\end{array}$

Đáp án C

Câu 6 :

Thu gọn $\sqrt[3]{{125{a^3}}}$ ta được

A

$ - 5a$.
B

$25a$.
C

$ - 25{a^3}$.
D

$5a$.

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Sử dụng kiến thức về căn thức bậc ba.

Lời giải chi tiết :

$\sqrt[3]{{125{a^3}}} = \sqrt[3]{{{{\left( {5a} \right)}^3}}} = 5a$.

Đáp án D

Câu 7 :

Cho tam giác ABC vuông tại A có $AC = 5cm,\widehat B = 30^\circ $. Độ dài BC là

A

$5,5cm$.
B

$5cm$.
C

$10cm$.
D

$5\sqrt 2 cm$.

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Sử dụng hệ thức lượng liên quan đến cạnh đối và cạnh huyền để tính BC.

Lời giải chi tiết :

Xét tam giác ABC vuông tại A có $\widehat B = 30^\circ $ nên ta có:

$\sin B = \frac{{AC}}{{BC}}$ suy ra $BC = \frac{{AC}}{{\sin B}} = \frac{5}{{\sin 30^\circ }} = 10\left( {cm} \right)$

Đáp án C

Câu 8 :

Cho đường tròn $\left( {O;3cm} \right)$ và hai điểm A, B sao cho $OA = OB = 3cm$. Khi đó

A

Điểm A nằm trong (O), điểm B nằm trên (O).
B

Điểm A và B đối xứng với nhau qua tâm O.
C

Điểm A và B đều nằm trên đường tròn (O).
D

$AB = 6cm$ là đường kính của đường tròn (O).

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Dựa vào kiến thức về vị trí tương đối của điểm và đường tròn.

Lời giải chi tiết :

Vì OA = OB = R nên điểm A và B nằm trên (O), do đó A sai, C đúng.

Vì theo đề bài, điểm O không nằm giữa A và B nên A và B không đối xứng với nhau qua O và AB không phải đường kính của (O), do đó B, D sai.

Đáp án C

Câu 9 :

Cho đường tròn (O) có AB là đường kính. Lấy C là điểm thuộc cung cung AB biết $\widehat {AOC} = 130^\circ $. Số đo cung nhỏ $BC$ là:

A

$360^\circ $.
B

$230^\circ $.
C

$130^\circ $.
D

$50^\circ $.

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Số đo của cung nhỏ bằng số đo của góc ở tâm chắn cung đó.

Lời giải chi tiết :

Số đo cung nhỏ BC chính là số đo góc ở tâm $\widehat {BOC}$.

Vì AB là đường kính của đường tròn (O) nên $\widehat {AOB} = 180^\circ $.

Mà $\widehat {AOB} = \widehat {AOC} + \widehat {COB}$ suy ra $\widehat {BOC} = \widehat {AOB} - \widehat {AOC} = 180^\circ - 130^\circ = 50^\circ $.

Đáp án D

Câu 10 :

Độ dài cung tròn $60^\circ $ của đường tròn đường kính 6dm là

A

$\pi \left( {dm} \right)$.
B

$2\pi \left( {dm} \right)$.
C

$36\pi \left( {dm} \right)$.
D

$12\pi \left( {dm} \right)$.

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức tính độ dài cung tròn: $l = \frac{{\pi Rn}}{{180}}$.

Lời giải chi tiết :

Bán kính đường tròn là: $6:2 = 3\left( {dm} \right)$

Độ dài cung tròn $60^\circ $ của đường tròn là:

$l = \frac{{\pi .3.60}}{{180}} = \pi \left( {dm} \right)$.

Đáp án A

Câu 11 :

Cho hai đường tròn $\left( {O;20cm} \right)$ và $\left( {O';15cm} \right)$ cắt nhau. Khi đó

A

$OO' < 5cm$.
B

$5cm < OO' < 35cm$.
C

$OO' > 35cm$.
D

$OO' = 35cm$.

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Hai đường tròn (O; R) và (O’; r) (với R > r) cắt nhau khi $R - r < OO' < R + r$.

Lời giải chi tiết :

Vì hai đường tròn $\left( {O;20cm} \right)$ và $\left( {O';15cm} \right)$ cắt nhau nên $20cm - 15cm < OO' < 20cm + 15cm$, suy ra $5cm < OO' < 35cm$.

Đáp án B

Câu 12 :

Cho hai tiếp tuyến PA và PB của đường tròn (O) (A, B là hai tiếp điểm). Biết $\widehat {APB} = 60^\circ $, khi đó $\widehat {APO}$ bằng

A

$120^\circ $.
B

$60^\circ $.
C

$20^\circ $.
D

$30^\circ $.

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến.

Lời giải chi tiết :

Vì hai tiếp tuyến PA và PB của đường tròn (O) cắt nhau tại P nên PO là tia phân giác của $\widehat {APB}$, suy ra $\widehat {APO} = \widehat {BPO} = \frac{1}{2}\widehat {APB} = \frac{1}{2}.60^\circ = 30^\circ $.

Đáp án D

Phần II. Câu hỏi trắc nghiệm đúng sai

Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Câu 1 :

Cho biểu thức $A = \left( {\frac{1}{{\sqrt a + 1}} - \frac{1}{{\sqrt a + a}}} \right):\frac{{\sqrt a - 1}}{{2\sqrt a + a + 1}}$ $\left( {a > 0;a \ne 1} \right)$.

a) $A = \frac{{\sqrt a + 1}}{{\sqrt a }}$.

Đúng

Sai

b) Giá trị của A khi $a = 4$ là $\frac{3}{2}$.

Đúng

Sai

c) Khi $a \ge 1$ thì $\sqrt a .A \ge 2$.

Đúng

Sai

d) Có $0$ giá trị nguyên của $a$ để $A$ nguyên.

Đúng

Sai

Đáp án

a) $A = \frac{{\sqrt a + 1}}{{\sqrt a }}$.

Đúng

Sai

b) Giá trị của A khi $a = 4$ là $\frac{3}{2}$.

Đúng

Sai

c) Khi $a \ge 1$ thì $\sqrt a .A \ge 2$.

Đúng

Sai

d) Có $0$ giá trị nguyên của $a$ để $A$ nguyên.

Đúng

Sai

Phương pháp giải :

a) Sử dụng tính chất của căn thức bậc hai để rút gọn.

b) Thay $a = 4$ vào A để tính giá trị biểu thức A.

c) Sử dụng tính chất của bất đẳng thức để tính.

d) Đưa A về dạng $A = a + \frac{b}{c}$ với a, b là các số nguyên, c là biểu thức chứa x.

Lời giải chi tiết :

a) Đúng

Ta có:

$\begin{array}{l}A = \left( {\frac{1}{{\sqrt a + 1}} - \frac{1}{{\sqrt a + a}}} \right):\frac{{\sqrt a - 1}}{{2\sqrt a + a + 1}}\\A = \left[ {\frac{{\sqrt a }}{{\sqrt a \left( {\sqrt a + 1} \right)}} - \frac{1}{{\sqrt a \left( {1 + \sqrt a } \right)}}} \right]:\frac{{\sqrt a - 1}}{{{{\left( {\sqrt a + 1} \right)}^2}}}\\A = \frac{{\sqrt a - 1}}{{\sqrt a \left( {\sqrt a + 1} \right)}}.\frac{{{{\left( {\sqrt a + 1} \right)}^2}}}{{\sqrt a - 1}}\\A = \frac{{\sqrt a + 1}}{{\sqrt a }}\end{array}$

b) Đúng

Thay $a = 4$ vào A, ta được: $A = \frac{{\sqrt 4 + 1}}{{\sqrt 4 }} = \frac{3}{2}$.

c) Sai

Ta có: $\sqrt a .A = \sqrt a .\frac{{\sqrt a + 1}}{{\sqrt a }} = \sqrt a + 1$.

Vì $\sqrt a .A \ge 2$ nên $\sqrt a + 1 \ge 2$, suy ra $\sqrt a \ge 1$, do đó $a \ge 1$.

Kết hợp với điều kiện $a \ne 1$, ta có $a > 1$.

d) Đúng

Ta có: $A = \frac{{\sqrt a + 1}}{{\sqrt a }} = 1 + \frac{1}{{\sqrt a }}$.

Để A nguyên thì $A = 1 + \frac{1}{{\sqrt a }}$ nguyên, do đó $\frac{1}{{\sqrt a }}$ nguyên.

Để $\frac{1}{{\sqrt a }}$ nguyên thì $\sqrt a $ là ước của 1, và $\sqrt a > 0$ nên $\sqrt a = 1$. Suy ra $a = 1$.

Mà $a \ne 0$ nên không có giá trị của a để $A$ nguyên.

Đáp án a) Đ, b) Đ, c) S, d) Đ

Câu 2 :

a) $x + y = 878$.

Đúng

Sai

b) $75x + 126y = 9073800$.

Đúng

Sai

c) $x = 391$, $y = 488$.

Đúng

Sai

d) Tổng số học sinh của trường là $749$.

Đúng

Sai

Đáp án

a) $x + y = 878$.

Đúng

Sai

b) $75x + 126y = 9073800$.

Đúng

Sai

c) $x = 391$, $y = 488$.

Đúng

Sai

d) Tổng số học sinh của trường là $749$.

Đúng

Sai

Phương pháp giải :

Dựa vào đề bài để lập hai phương trình bậc nhất hai ẩn.

Từ đó giải hệ được tạo thành bởi hai phương trình vừa lập.

Tính số học sinh giỏi và xuất sắc, từ đó tính số học sinh toàn trường.

Lời giải chi tiết :

a) Đúng

Vì trường trung học mua $878$ quyển vở bao gồm $x$ quyển vở loại thứ nhất và $y$ quyển vở loại thứ hai nên ta có: $x + y = 878$.

b) Sai

Vì giá bán mỗi quyển vở loại thứ nhất và loại thứ hai lần lượt là $7500$ và $12600$ đồng và tổng số tiền nhà trường đã dùng để mua $878$ quyển vở là $9073800$ đồng nên ta có phương trình: $7500x + 12600y = 9\,073\,800$

Suy ra $75x + 126y = 90\,738$.

c) Sai

Hệ phương trình là: $\left\{ \begin{array}{l}x + y = 878\\75x + 126y = 90\,738\end{array} \right.$.

Giải hệ phương trình:

$\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x + y = 878\\75x + 126y = 90\,738\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}y = 878 - x\\75x + 126\left( {878 - x} \right) = 90\,738\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}y = 878 - x\\ - 51x = - 19\,890\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = 390\\y = 878 - 390\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = 390\\y = 488\end{array} \right.\end{array}$

Vậy $x = 390;y = 488$.

d) Sai

Gọi số học sinh xuất sắc là a, số học sinh giỏi là b (học sinh, $a,b \in {\mathbb{N}^*}$)

Vì học sinh xuất sắc được thưởng $3$ quyển vở loại thứ nhất, mỗi học sinh giỏi được thưởng 2 quyển vở loại thứ nhất nên ta có: $3a + 2b = 390$.

Vì học sinh xuất sắc được thưởng $4$ quyển vở loại thứ hai, mỗi học sinh giỏi được thưởng $2$ quyển vở loại thứ hai nên ta có: $4a + 2b = 488$.

Ta có hệ phương trình:

$\left\{ \begin{array}{l}3a + 2b = 390\\4a + 2b = 488\end{array} \right.$

$\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}a = 98\\3.98 + 2b = 390\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}a = 98\\b = 48\end{array} \right.\end{array}$

Tổng số học sinh giỏi và xuất sắc là: $98 + 48 = 146$

Vì tổng số học sinh giỏi và xuất sắc chiếm $20\% $ số học sinh toàn trường nên số học sinh của trường là:

$146:20\% = 730$

Vậy tổng số học sinh của trường là $730$.

Đáp án a) Đ, b) S, c) S, d) S

Câu 3 :

• Giá thuê xe là 5 triệu đồng/ngày.

• Vé vào cổng mỗi học sinh là 30 000 đồng.

• Bữa ăn trưa cho mỗi học sinh có giá 50 000 đồng.

a) Chi phí cho mỗi học sinh là 80 000 đồng.

Đúng

Sai

b) Tổng chi phí nhà trường cần trả cho chuyến tham quan có $x$ bạn là $80\,000x$.

Đúng

Sai

c) $80\,000x + 5\,000\,000 \le 20\,000\,000$.

Đúng

Sai

d) Trường có thể tổ chức cho tối đa 188 học sinh tham gia chuyến tham quan này.

Đúng

Sai

Đáp án

a) Chi phí cho mỗi học sinh là 80 000 đồng.

Đúng

Sai

b) Tổng chi phí nhà trường cần trả cho chuyến tham quan có $x$ bạn là $80\,000x$.

Đúng

Sai

c) $80\,000x + 5\,000\,000 \le 20\,000\,000$.

Đúng

Sai

d) Trường có thể tổ chức cho tối đa 188 học sinh tham gia chuyến tham quan này.

Đúng

Sai

Phương pháp giải :

Vì chuyến tham quan từ 7h00 đến 17h00, mỗi học sinh sẽ có chi phí vé vào cổng và bữa ăn trưa nên ta cần tính chi phí cho một học sinh đi tham quan.

Tổng chi phí nhà trường phải trả bao gồm chi phí cho $x$ học sinh tham gia và chi phí thuê xe một ngày.

Vì tổng kinh phí nhà trường dự trù là 20 triệu đồng nên tổng chi phí không được quá 20 triệu đồng. Từ đó ta lập được bất phương trình.

Giải bất phương trình để tìm x.

Lời giải chi tiết :

a) Đúng

Vì chuyến tham quan từ 7h00 đến 17h00, mỗi học sinh sẽ có chi phí vé vào cổng và bữa ăn trưa nên chi phí cho một học sinh đi tham quan là:

30 000 + 50 000 = 80 000 (đồng)

b) Sai

Tổng chi phí nhà trường phải trả bao gồm chi phí cho $x$ học sinh tham gia và chi phí thuê xe một ngày là:

80 000$x$+ 5 000 000 (đồng)

c) Đúng

Vì tổng kinh phí nhà trường dự trù là 20 triệu đồng nên ta có bất phương trình:

$80\,000x + 5\,000\,000 \le 20\,000\,000$

d) Sai

Giải bất phương trình:

$80\,000x + 5\,000\,000 \le 20\,000\,000$

$80\,000x \le 15\,000\,000$ (cộng cả hai vế với $ - 5\,000\,000$)

$x \le \frac{{15\,000\,000}}{{8\,000\,000}}$ (nhân cả hai vế với $\frac{1}{{80\,000}}$)

$x \le 187,5$

Vì số học sinh phải là số nguyên nên số học sinh tối đa là 187.

Trường có thể tổ chức cho tối đa 187 học sinh tham gia chuyến tham quan này.

Đáp án a) Đ, b) S, c) Đ, d) S.

Câu 4 :

Cho tam giác MNP có MN = 5cm, NP = 12cm, MP = 13cm. Vẽ đường tròn $\left( M;MN \right)$, đường thẳng MP cắt đường tròn tại hai điểm O và Q (Q nằm giữa O và P).

a) NP là tiếp tuyến của $\left( M;MN \right)$.

Đúng

Sai

b) $\widehat{NPM}\approx 30{}^\circ $.

Đúng

Sai

c) $\widehat{NOQ}\approx 34{}^\circ $.

Đúng

Sai

d) $\widehat{PNQ}\approx 35{}^\circ $.

Đúng

Sai

Đáp án

a) NP là tiếp tuyến của $\left( M;MN \right)$.

Đúng

Sai

b) $\widehat{NPM}\approx 30{}^\circ $.

Đúng

Sai

c) $\widehat{NOQ}\approx 34{}^\circ $.

Đúng

Sai

d) $\widehat{PNQ}\approx 35{}^\circ $.

Đúng

Sai

Phương pháp giải :

a) Chứng minh tam giác MNP vuông dựa vào định lí Pythagore đảo.

b) Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính góc NPM.

b) Tính số đo góc ở tâm NMP, từ đó suy ra số đo góc nội tiếp NOQ.

d) Tam giác MNQ cân nên ta tính được $\widehat{MNQ}$, sử dụng tính chất hai góc phụ nhau để suy ra $\widehat{PNQ}$.

Lời giải chi tiết :

a) Đúng

Xét tam giác MNP có:

${{13}^{2}}={{12}^{2}}+{{5}^{2}}$ hay $M{{P}^{2}}=M{{N}^{2}}+N{{P}^{2}}$

Suy ra tam giác MNP là tam giác vuông tại N (theo định lí Pythagore đảo)

Suy ra $MN\bot NP$ và $N\in \left( M;MN \right)$ nên NP là tiếp tuyến của $\left( M;MN \right)$.

b) Sai

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông MNP, ta có:

$\sin NPM=\frac{MN}{MP}=\frac{5}{13}$ suy ra $\widehat{NPM}\approx 23{}^\circ $.

c) Đúng

Ta có: $\widehat{NMP}=90{}^\circ -\widehat{NPM}\approx 90{}^\circ -23{}^\circ =67{}^\circ $.

Vì $\widehat{NMP}$ là góc ở tâm khác góc bẹt nên $\overset\frown{NQ}$ là cung nhỏ, do đó số đo góc ở tâm $\widehat{NOQ}\approx \frac{1}{2}.67{}^\circ =33,5{}^\circ \approx 34{}^\circ $.

d) Sai
Tam giác NMQ cân tại M (MN = MQ = bán kính) nên $\widehat{MNQ}=\widehat{MQN}=\frac{180{}^\circ -\widehat{NMQ}}{2}\approx \frac{180{}^\circ -67{}^\circ }{2}\approx 57{}^\circ $.

Suy ra $\widehat{PNQ}=90{}^\circ -\widehat{MNQ}\approx 90{}^\circ -57{}^\circ =33{}^\circ $.

Đáp án a) Đ, b) S, c) Đ, d) S

Phần III. Câu hỏi trắc nghiệm trả lời ngắn

Thí sinh trả lời câu hỏi từ câu 1 đến câu 6

Câu 1 :

Phương trình $x\left( {x - 5} \right) + 2\left( {x - 5} \right) = 0$ có tổng hai nghiệm bằng:

Đáp án:

Đáp án

Đáp án:

Phương pháp giải :

Đưa phương trình về phương trình tích. Giải phương trình tích rồi tính tổng hai nghiệm.

Lời giải chi tiết :

Ta có:

$\begin{array}{l}x\left( {x - 5} \right) + 2\left( {x - 5} \right) = 0\\\left( {x + 2} \right)\left( {x - 5} \right) = 0\end{array}$

$x + 2 = 0$ suy ra $x = - 2$.

$x - 5 = 0$ suy ra $x = 5$.

Suy ra tổng hai nghiệm là $ - 2 + 5 = 3$.

Đáp án: 3

Câu 2 :

Giá trị của biểu thức $\sqrt {\frac{3}{5}} - \sqrt {\frac{5}{3}} + \frac{{\sqrt {60} }}{{15}}$ có kết quả bằng:

Đáp án:

Đáp án

Đáp án:

Phương pháp giải :

Sử dụng kiến thức của căn bậc hai để tính giá trị biểu thức.

Lời giải chi tiết :

Ta có:

$\begin{array}{l}\sqrt {\frac{3}{5}} - \sqrt {\frac{5}{3}} + \frac{{\sqrt {60} }}{{15}}\\ = \frac{{\sqrt {3.5} }}{5} - \frac{{\sqrt {5.3} }}{3} + \frac{{\sqrt {4.15} }}{{15}}\\ = \frac{{\sqrt {15} }}{5} - \frac{{\sqrt {15} }}{3} + \frac{{2\sqrt {15} }}{{15}}\\ = \frac{{3\sqrt {15} }}{{15}} - \frac{{5\sqrt {15} }}{{15}} + \frac{{2\sqrt {15} }}{{15}}\\ = \frac{{3\sqrt {15} - 5\sqrt {15} + 2\sqrt {15} }}{{15}}\\ = 0\end{array}$

Đáp án: 0

Câu 3 :

Tổng các giá trị của x để $\sqrt {{x^2} - 6x + 9} = 2$ là:

Đáp án:

Đáp án

Đáp án:

Phương pháp giải :

Sử dụng kiến thức $\sqrt {{A^2}} = \left| A \right|$, giải phương trình để tìm x.

Lời giải chi tiết :

Ta có:

$\begin{array}{l}\sqrt {{x^2} - 6x + 9} = 2\\\sqrt {{{\left( {x - 3} \right)}^2}} = 2\\\left| {x - 3} \right| = 2\end{array}$

Suy ra $x - 3 = 2$ hoặc $x - 3 = - 2$.

+) Với $x - 3 = 2$ suy ra $x = 5$.

+) Với $x - 3 = - 2$ suy ra $x = 1$.

Vậy tổng các giá trị của x là: $5 + 1 = 6$.

Đáp án: 6

Câu 4 :

Đáp án:

Đáp án

Đáp án:

Phương pháp giải :

Dựa vào vị trí của các điểm để tính độ dài các đoạn thẳng.

Lời giải chi tiết :

Ta có:

$CM = BC - AM - AB$

$ND = BD - BN = BD - \left( {AN - AB} \right) = BD - AN + AB$

Suy ra $CM + ND = BC - AM - AB + \left( {BD - AN + AB} \right)$

$\begin{array}{l} = BC - AM - AB + BD - AN + AB\\ = BC + BD - \left( {AM + AN} \right)\end{array}$

Mà $BC = BD = 5cm,AM = AN = 3cm$

Suy ra $CM + ND = 2.5 + 2.3 = 16\left( {cm} \right)$

Đáp án: 16

Câu 5 :

Chiều dài của cần gạt nước là bao nhiêu m?

Đáp án:

Đáp án

Đáp án:

Phương pháp giải :

Dựa vào công thức tính diện tích hình quạt tròn: ${S_q} = \frac{{\pi {R^2}n}}{{360}}$.

Lời giải chi tiết :

Vì diện tích hình quạt tròn là $\frac{8}{3}\pi $ nên ta có: $\frac{{\pi .{R^2}.60}}{{360}} = \frac{{\pi {R^2}}}{6} = \frac{8}{3}\pi $.

Suy ra ${R^2} = \frac{8}{3}\pi :\frac{\pi }{6} = 16$.

Do đó $R = \sqrt {16} = 4\left( m \right)$.

Vậy chiều dài của cần gạt nước là 4m.

Đáp án: 4

Câu 6 :

Cho $\alpha $ là góc nhọn bất kì. Khi đó $C = {\sin ^6}\alpha + {\cos ^6}\alpha + 3{\sin ^2}\alpha .{\cos ^2}\alpha $ có giá trị bằng:

Đáp án:

Đáp án

Đáp án:

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức mở rộng ${\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1$.

Lời giải chi tiết :

$\begin{array}{l}C = {\sin ^6}\alpha + {\cos ^6}\alpha + 3{\sin ^2}\alpha .{\cos ^2}\alpha \\C = {\sin ^6}\alpha + {\cos ^6}\alpha + 3{\sin ^2}\alpha .{\cos ^2}\alpha .1\\C = {\sin ^6}\alpha + {\cos ^6}\alpha + 3{\sin ^2}\alpha .{\cos ^2}\alpha \left( {{{\sin }^2}\alpha + {{\cos }^2}\alpha } \right)\\C = {\left( {{{\sin }^2}\alpha } \right)^3} + {\left( {{{\cos }^2}\alpha } \right)^3} + 3{\sin ^4}\alpha .{\cos ^2}\alpha + 3{\sin ^2}\alpha .{\cos ^4}\alpha \\C = {\left( {{{\sin }^2}\alpha } \right)^3} + 3{\sin ^4}\alpha .{\cos ^2}\alpha + 3{\sin ^2}\alpha .{\cos ^4}\alpha + {\left( {{{\cos }^2}\alpha } \right)^3}\\C = {\left( {{{\sin }^2}\alpha + {{\cos }^2}\alpha } \right)^3} = {1^3} = 1\end{array}$

Đáp án: 1

Bài liên quan